Calculo integral, realizar el siguiente ejercicio de sustitución trigonométrica
Me pueden ayudar a realizar este ejercicio de sustitución trigonométrica
a)
2
∫ -----------
√5-4x^2
1 respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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¡Hola Alexander!
Yo esta integral la hacía sin cambio de variable, solo adecuando el integrando, pero si tienes que hacer cambio será así:
$$\begin{align}&\int \frac{2}{\sqrt{5-4x^2}}dx=\\&\\&\text{debes hacer }4x^2=5sen^2t \\&\text{para reventar la raíz cuadrada, luego el cambio es}\\&\\&x= \sqrt \frac 54sent=\frac{\sqrt 5}{2} sent \implies dx= \frac{\sqrt 5}{2}cost\;dt\\&\\&= 2\int \frac{\frac{\sqrt 5}{2} cost }{\sqrt{5-5sen^2t}}dt=\\&\\&{\sqrt 5} \int \frac{cost}{\sqrt{5(1-sen^2t)}}dt=\\&\\&\int \frac{cost}{cost}dt=t+C =\\&\\&\text{teníamos }4x^2=5sen^2t \implies sent= \frac{ 2x}{\sqrt 5}\implies\\&\\&t= arcsen \frac{2x}{\sqrt 5}\\&\\&\text{Luego la integral es}\\&\\&=arcsen \frac{2x}{\sqrt 5}+C\end{align}$$Y eso es todo, saludos.
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