Inecuación racional con valor absoluto...

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Hola Candy Maritza!

Cuando resuelves una inecuación con fracciones algebraicas, no se hace lo de pasar dividiendo a multiplicar y viceversa, cuando lo que pasas lleva x (x-2)

Ya que ese x-2 que pasas de un lado a otro, tiene signo positivo o negativo dependiendo de la x; y recuerda que cuando pasas multiplicando un negativo cambiaría la dirección de la desigualdad,

Pero si es positivo no cambiaría. x-2 es positivo si x>2 y es negativo si x<2.

Para evitar esta complejidad, lo que hacemos es trasponer el término entero, recuerda que al pasar sumando o restando, la dirección de la desigualdad no cambia.

En resumen, el primer paso lo tienes bien, pero a partir de allí no.

Yo escribiría las dos inecuaciones por separado, y resolvería trasponiendo el 1:

$$\begin{align}&-1<\frac{x+1}{x-2}<1\\&\\&sistema:\\&\\&\frac{x+1}{x-2}>-1 \ \ \ (*)\\&\\&\frac{x+1}{x-2}<1\  \ \ (**)\\&\\&(*)\\&\frac{x+1}{x-2}>-1\\&\\&\frac{x+1}{x-2}+1>0\\&\\&\frac{x+1+x-2}{x-2}>0\\&\\&\frac{2x-1}{x-2}>0\\&\\&buscamos \ las \ raices \ del \ numerador \ y \ denominador:\\&2x-1=0 \Rightarrow x= \frac{1}{2}\\&\\&x-2=0 \Rightarrow x=2\\&las \ ordenamos \ de \ menor  \ a \ mayor \ en \  \mathbb {R}, salen \ tres \ intervalos\\&(-\infty, \frac{1}{2}) \rightarrow F(0)=\frac{-}{-}=+ (si)\\&\\&(\frac{1}{2},2) \rightarrow F(1)=\frac{+}{-}=-(no)\\&\\&(2, \infty) \rightarrow F(10)=\frac{+}{+}=+(si)\\&\\&estudiamos \ un \ punto \ cualquiera \ de \ dentro \ del \ intervaloº para \ saber \ el \ signo ( ha \ de \ \\&ser \ positivo \ en \ esta \ inecuación)\\&\\&S_1=(-\infty, \frac{1}{2}) \cup(2, \infty)\\&\\&(**)\\&\frac{x+1}{x-2}<1\\&trasponiendo\\&\\&\frac{x+1}{x-2}-1<0\\&\\&\frac{x+1-x+2}{x-2}<0\\&\\&\frac{3}{x-2}<0  \Rightarrow x-2<0\Rightarrow x<2\\&\\&S_2(-\infty,2)\\&\\&solución:S=S_1 \cap S_2=(-\infty, \frac{1}{2})\\&luego\\&x< \frac{1}{2}\end{align}$$

En las inecuaciones con fracciones algebraicas , traspón  todos los términos de un lado (sumando o restando, según el signo); no multiplicando o dividendo una parte con x.

Observa que entonces tendrás, una vez operada, una inecuación con una fracción tipo:

F<0

F>0

Con lo cual el problema se reduce a estudiar el signo de la fracción (F) resultante.

Espero quelo hayas entendido

Saludos

;)

;)

:)

Hola! Candy (Y Lucas)

Te presento otra forma de demostrarlo (haz click en la imagen para agrandarla):

Saludos, Mario R.

:)

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