¿Cómo se simplifica la siguiente congruencia?
$$\begin{align}&x \equiv 1139^{502} \pmod{25}\end{align}$$
1 respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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¡Hola Iván!
Usaremos algunas propiedades de las congruencias:
$$\begin{align}&Si\; a \equiv b \;(mod\;m)\implies a^k\equiv b^k\;(mod \;m)\\&\\&1139 = 1125+14\\&\\&1139\equiv 14\;(mod \;25)\\&\\&x\equiv 14^{502}\; (mod\;25)\\&\\&\text{A falta de saber si se puede usar algún teorema}\\&\text{calcularé el ciclo de las potencias de 14}\\&\\&14^1\equiv 14 (mod\; 25)\\&14^2=196 = 175+21 \equiv21(mod\;25)\\&14^3\equiv21·14=294=275+19\equiv19(mod\;25)\\&14^4\equiv19·14=266=250+16\equiv 16(mod \;25)\\&14^5 \equiv 16·14 =224 =225-1\equiv-1(mod \;25)\\&\\&\text{A eso o a 1 quería llegar. Ahora tendremos}\\&\\&14^{10}=14^5·14^5\equiv(-1)(-1)=1 \;(mod25)\\&\\&\text{Luego cada 10 de exponente tenemos congruencia con 1}\\&\\&14^{502}= 14^{500}·14^{2}=(14^{10})^{50}·14^2\equiv1^{50}·14^2\equiv1·14^2\equiv14^2\equiv21\\&\end{align}$$Y eso es todo, sa lu dos.
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