Resolver la siguiente inecuación racional

;)
Se buscan las raíces del numerador y denominador:

x

$$\begin{align}&x^2+7x+10=0\\&x_1=-5\\&x_2=-2\\&\\&x^2-2x=0\\&x(x-2)=0\\&x_3=0\\&x_4=2\\&\\&\end{align}$$

Se ordenan de menor a mayor en la recta real:Como hay 4 raíces , salen cinco intervalos:

(-Infinito,-5)

(-5,-2)

(-2,0)

(0,2)

Se estudia el signo en un punto cualquiera de dentro del intervalo. Queremos que la fracción de negativa (<0).

Va bien ponerla factorizada:

$$\begin{align}&F(x)=\frac{(x+5)(x+2)}{x(x-2)}\\&\\&(-\infty, -10) \Rightarrow F((-10)=\frac{(-)(-)}{(-)(-)}=+ \ no\\&\\&(-5,-2) \Rightarrow F(-3)=\frac{(-)(+)}{(-)(-)}=-\ si\\&\\&(-2,0) \Rightarrow F(-1)=\frac{(+)(+)}{(-)(-)}>0 \ no\\&\\&(0,2) \Rightarrow F(1)=\frac{(+)(+)}{(+)(-)}=-  \ si\\&\\&(2,+ \infty) \Rightarrow F(10)=\frac{(+)(+)}{(+)(+}=+ \ no\\&\\&Solución=(-5,-2\cup(0,2)\end{align}$$

Al ponerla factorizada solo pongo el signo de cada factor, para obtener el signo resultante, y los cálculos son directos

Saludos

;)

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