Determine la función que representa los ingresos totales
Una tienda departamental tiene ingresos marginales en el departamento de papelería de acurdo a la siguiente función: I^' (x)= 28x^3-14x/(x^4-x^2)^3
Donde x representa la cantidad de artículos que vende el departamento de papelería por mes. Determine la función que representa los ingresos totales.
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¡Hola Oved!
Es imprescindible poner entre paréntesis todos los numeradores y denominadores compuestos, si no se deben interpretar como simples, es lo que dicen las normas de precedencia de las operaciones.
Entonces supongo que querías decir:
I'(x) = (28x^3-14x)/(x^4-x^2)^3
Como nos dan el ingreso marginal hay que hacer la integral para obtener el ingreso total.
$$\begin{align}&IT(x)=\int I'(x)\;dx=\int \frac{28x^3-14x}{(x^4-x^2)^3}dx=\\&\\&\text{Si sacas factor común 7 fíjate lo que queda}\\&\\&7 \int \frac{4x^3-2x}{(x^4-x^2)^3}dx=\\&\\&\text{fíjate que arriba esta la derivada de lo de abajo}\\&\\&\text{Hacemos el cambio}\\&\\&t=x^4-x^2\\&dt= (4x^3-2x)\; dx\\&\\&=7\int \frac{dt}{t^3}= 7\int t^{-3}\;dt= \frac{7t^{-2}}{-2}+C=\\&\\&-\frac{7}{2t^2}+C = -\frac{7}{(x^4-x^2)}+C\\&\\&\text{Luego esta es la función de ingresos}\\&\\&IT(x)= -\frac{7}{(x^4-x^2)}+C\end{align}$$Fíjate que es una función negativa y sin sentido porque quien hizo el problema no se preocupó de que esto fuera una función válida de ingresos, solo se fijó en buscar una función que se pudiera integrar. Para poder calcular la C deberían darnos los ingresos para cierta cantidad de unidades, pero no para 0 unidades ya que no está definida.
Saludos.
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