Al Resolver la ecuación diferencial dy/sen(x-y+1) =dx; si y(0)=π-1, el valor de la constante c

Contesto al comentario de Ferjuvelo sobre si la constante vale 0 y a todos que tengan esa duda.

La pregunta que hacen aquí no pueden hacerla porque la respuesta es que el valor de C puede ser cualquiera, todo depende del método que se haya usado para realizar la integral, se deberían haber limitado a preguntar lo de siempre, calcula la solución particular, pero se han querido hacer los originales y se han pasado de listos.

Cuando tú resuelves una ecuación diferencial de primer orden obtienes una solución general:

y = f(x) + C

pero si en vez de f pones la función g

g(x) = f(x)+ 2

también sirve por ejemplo.

Entonces si te piden la constante tal que para x=0 vale y=3 tendrás en el primer caso

C= 3-f(0)

y en segundo

C= 3-[f(0)+2] = 1-f(0)

que son dos valores distintos

Dirás que esto no puede pasar que te das cuenta.  Pues sí que puede pasar, fíjate:

$$\begin{align}&dy = \left(4cos\left(\frac \pi2-x\right)·cosx -2\,senx·cosx\right)dx\\&\\&\text{la integral del segundo término es bastante directa}\\&\text{y la hago ya}\\&\\&y = 4\int \cos\left(\frac \pi2-x\right)·cosx\;dx+\cos^2x\\&\\&\text{desarrollo la integral que queda}\\&\\&\int\left(\cos \frac \pi2·cosx+sen \frac \pi2·senx  \right)cosx\;dx=\\&\\&\int(0+senx)cosx \;dx= \frac {sen^2x}2\\&\\&\text {con lo cual la respuesta es}\\&\\&y=4· \frac {sen^2x}2+\cos^2x+C\\&\\&y= 2sen^2x + \cos^2x + C\\&\\&\text{La constante para } y_0=3  \text { es}\\&\\&3=0+1+C\\&\\&C=2\\&\\&\\&\text{Pero ahora imagina que yo la hubiera resuelto así}\\&\\&y= \int\left(4cos\left(\frac \pi2-x\right)·cosx -2\,senx·cosx\right)dx=\\&\\& \int\left(4\left(\cos \frac \pi2·cosx+sen \frac \pi2·senx  \right)cosx-2\,senx·cosx\right)dx=\\&\\& \int\left(4\left(0+senx  \right)cosx-2\,senx·cosx\right)dx=\\&\\&\int(4senx·cosx-2senx·cosx)dx=\\&\\&\int 2senx·cosx\;dx = sen^2x+C\\&\\&\text{o sea}\\&\\&y= sen^2x+C\\&\\&\text{Entonces la constante para }y_0=3\\&\\&3 = 0+C\\&\\&C=3\\&\\&\text{Es decir, la constante vale 2 y 3 y cualquier valor que queramos}\\&\\&------------------\\&\\&\text{Otro ejemplo}\\&\\&dy = \frac {2}{2x+1}dx\\&\\&\text{Está claro}\\&\\&y = ln|2x+1|+C\\&\\&\text{para }y_0=5\\&\\&5=ln1+C\\&\\&C=5\\&\\&\text{pero si yo hago}\\&\\&y = \int \frac {2}{2x+1}dx= \int \frac{1}{x+\frac 12}dx = ln\left|x+ \frac 12\right|+C\\&\\&5=ln \frac 12 + C\\&\\&C=5-ln \frac 12\approx 5.69314781\\&\\&\text{Y de nuevo son distintas}\\&\\&\end{align}$$

Luego lo que te quiero decir, que la constante depende del método de integración que hayas usado, luego no te pueden hacer esa pregunta y las respuestas que te den como opciones (que sé que otro me mandó las opciones y una de ellas era 0)  no me sirven de nada, pues yo puedo hacer que esa constante tome cualquier valor.  La que a mi me salió en concreto es

C = sec(pi-2)-tg(pi-2) = 0.2179580985

Pero es que yo hice esa integral de una forma muy particular para no usar el cambio de variable universal

t=tg(x/2)

Si hubiera usado ese cambio abominable, me habría dado una expresión distinta y la variable valdría otra cosa. Y si lo hubiera resuelto con WolframAlpha, que resuelve las integrales algunas veces con métodos que no se estudian normalmente, a lo mejor la constante tendría otro valor.

Así que se dejen de listos y pregunten lo que se puede preguntar y lo que no se puede preguntar que no lo pregunten.

Saludos.

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:)

Hola! Henry. Tengo la "sospecha" que tienes mal estipulado el valor inicial.

Me parece que debería ser: y(0) = π + 1

¿Tienes forma de confirmarlo?...

:)

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