Explicar paso a paso esta aplicación de calculo 1

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¡Hola Michel!

Sea b la base y h la altura, el área será

A= bh

Y se trata de hacer que esta área sea mínima.

Lo que sabemos son los márgenes y el área imprimible

Si descontamos los márgenes, el área imprimible es

(b - 2 · 2)(h - 2· 3) = 180

(b-4)(h-6) = 180

Y aquí despejaremos una de las dos variables

$$\begin{align}&b-4 = \frac{180}{h-6}\\&\\&b = \frac{180}{h-6}+4 \\&\\&\text{Con esto, el área se podrá poner en función de una sola variable}\\&\\&A(h) =  \left(\frac{180}{h-6}+4\right) ·h = \frac{180h}{h-6}+4h\\&\\&\text{derivamos e igualamos a 0 para obtener el mínimo}\\&\\&A'(h)= 180 \frac{h-6-h}{(h-6)^2}+4= -\frac{1080}{(h-6)^2}+4=0\\&\\&4=\frac{1080}{(h-6)^2}\\&\\&(h-6)^2= \frac{1080}{4}=270\\&\\&h-6 = \sqrt{270}\\&\\&h= 6+\sqrt{270}\\&\\&\\&\text{Es un mínimo porque la derivada segunda en él es positiva}\\&\\&A''(h)=\frac{1080·2}{(h-6)^3}\\&\\&\text{Compruébalo tú mismo si quieres}\\&\text{Y ahora calculamos la base correspondiente}\\&\\&b = \frac{180}{h-6}+4 = \frac{180}{\sqrt{270}}+4\\&\\&\text{No hace falta dejarlas mejor, echamos mano ya a la calculadora}\\&\\&h= 6+\sqrt{270}\approx 22.43167673\, cm\\&\\&b= \frac{180}{\sqrt{270}}+4\approx14.95445115\,cm\end{align}$$

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