Ejercicio de álgebra lineal. Se considera la siguiente función:

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¡Hola Omar!

El dominio son los elementos del conjunto origen que tienen imagen. Todos los polinomios tienen derivada y el resto de operaciones (una multiplicación de polinomios y una suma de polinomios) se pueden efectuar siempre. Luego el dominio es P2(R)

Para que sea una transformación lineal deben cumplirse estas dos propiedades

$$\begin{align}&1)\quad T(p(x)+q(x))= T(p(x))+T(q(x))\\&2) \quad T(k·p(x))= k·T(p(x))\\&\\&\text{donde }p(x), q(x)\in P_2(\mathbb R);\quad k\in \mathbb R\\&\\&\\&1) \;T(p(x)+q(x)) = p(x)+q(x)+x(p(x)+q(x))'=\\&\\&p(x)+q(x)+x(p'(x)+q'(x))=\\&\\&[p(x)+xp'(x)] + [q(x)+xq'(x)]= T(p(x))+T(q(x))\\&\\&\\&2) \;T(kp(x)) = kp(x) + x(kp(x))'=\\&\\&kp(x) + x(kp'(x))= \\&\\&k[p(x)+xp'(x)] = k·T(p(x))\\&\\&\text{Luego es lineal}\\&\\&\\&\text{Para ser biyectiva deberá ser inyectiva y sobreyectiva}\\&\\&\text{Para ser inyectiva debe cumplirse}\\&\\&T(p(x))=T(q(x)) \implies p(x)=q(x)\\&\\&Dado\quad p(x)= ax^2+bx+c\\&\\&T(p(x))= ax^2+bx+c+x(2ax+b)=3ax^2+2bx+c\\&\\&\text{Sea q(x) con la misma imagen}\\&\\&q(x) =dx^2+ex+f\\&\\&\text{Por un lado}\\&\\&T(q(x)) = 3dx^2+2ex+f\\&\\&\text{Pero  como es igual que }T(p(x))\\&\\&T(q(x)) = 3ax^2+2bx+c\\&\\&\text{por lo que}\\&\\&3dx^2+2ex+f=3ax^2+2bx+c\\&\\&\text{dos polinomios son iguales si y solo si son iguales}\\&\text{todos los coeficientes correspondientes}\\&\\&3d=3a\implies d=a\\&2e=2b\implies e=b\\&f=c\\&\\&Luego\\&\\&q(x)=ax^2+bx+c = p(x)\\&\\&q(x)=p(x)\\&\\&\text{es inyectiva}\\&\\&·\\&\text{Y es sobreyectiva, dado}\\&\\&q(x) = ax^2+bx+c\\&\\&\text{tomamos el polinomio}\\&\\&p(x)=\frac a3x^2+\frac b2x+c\\&\\&\text{Y se cumple } T(p(x))=q(x)\\&\\&\text{En efecto, esto ya lo hicimos antes pero lo comprobamos de nuevo}\\&\\&T(p(x)) =\frac a3x^2+\frac b2x+c+x\left(\frac{2a}{3}x+\frac b2\right)=\\&\\&\frac a3x^2+\frac b2x+c+\frac{2a}{3}x^2+\frac b2x=ax^2+bx+c\end{align}$$

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