¿Cómo responder estos ejercicios de derivadas y razones de cambio?

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¡Hola Lola!

Revisa el tercer límite que es distinto de lo que te dieron.

$$\begin{align}&f'(x)= \frac{3}{2 \sqrt{3x+1}}\\&\\&\text{Y }f '(a)\text{ es lo mismo}\\&\\&f'(a) = \frac{3}{2 \sqrt{3a+1}}\\&\\&-----------------\\&\\&\text{Hay que tener en cuenta las dos definiciones de derivada}\\&\\&1) \quad f'(a)=\lim_{h\to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}\\&\\&2) \quad f'(a) = \lim_{x\to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}\\&\\&\\&\\&\\&\lim_{h\to 0} \frac{\sqrt[4]{16+h}-2}{h}=\lim_{h\to 0} \frac{\sqrt[4]{16+h}-\sqrt[4]{16}}{h}\\&\\&\text{Luego la función es}\\&f(x)= \sqrt[4]x\\&\text{Y el punto es }a=16\\&\\&------------------\\&\\&\lim_{x\to \pi/4} \frac{tan\,x-1}{x-\pi/4}\\&\\&\text{La función es }f(x)=tan\,x\\&\text{Y el punto }a=\pi/4\\&\\&-------------------\\&\\&\lim_{t\to 1} \frac{t^4+t-2}{t-1} =\lim_{t\to 1} \frac{t^4+t-1-1}{t-1} =\\&\\&f(t) = t^4+t-1\\&\\&a= 1\end{align}$$

Y eso es todo saludos.

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;)
Hola Lola!

1.- f'(a)

$$\begin{align}&f(x)= \sqrt {3x+1}\\&\\&f'(x)= \frac{1}{2 \sqrt{3x+1}}·3\\&\\&f'(a)= \frac{3}{2 \sqrt{ 3a +1}}\\&\\&2.-\\&\lim_{ h \to 0} \frac{\sqrt[4]{16+h}-2}{h}\\&\\&f(x)= \sqrt[4]{x}\\&\\&a=16 \Rightarrow f(16)=\sqrt[4]{16}=2\\&\\&3.-\\&\\&f(x)=tanx\\&\\&a= \frac{\pi}{4}\\&\\&4.-\\&\\&\lim_{t \to 1} \frac{t^4+t-2}{t-1}\\&\\&f(t)=t^4+t\\&\\&a=1 \Rightarrow f(1)=2\end{align}$$

Saludos

;)

;)