¿Sea W el conjunto de todas las matrices hermíticas?
Sea W el conjunto de todas las matrices hermíticas 2x2, esto es, el conjunto de las
matrices compleja 2x2, A, tales que
$$\begin{align}&A_{îj} = \bar{A_{îj}} \end{align}$$ (la barra indica conjugación
compleja). Comprobar que W es un espacio vectorial sobre el cuerpo de los
números reales, con las operaciones usuales. Verificar que
$$\begin{bmatrix} x+t & y+iz\\
y-iz & t-x\\ \end{bmatrix}$$es un isomorfismos de
$$\begin{align}&R^{4} \end{align}$$sobre W.
1 respuesta
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¡Hola Andreina!
La definición está mal, debes transponer los índices
Aij = Äji
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Usaremos el teorema de caracterización de subespacios vectoriales. Nos fundamentaremos en que la matrices complejas 2x2 sobre el cuerpo de los números reales es un espacio vectorial y veremos este subconjunto es un espacio vectorial.
Podemos usar el teorema en una o dos partes, mejor en dos. La primera parte es ver que la suma de hermíticas es hermítica
Sean dos matrices A y B hermíticas y su suma es C
$$\begin{align}&C_{ij}= A_{ij}+B_{ij} =\overline A_{ji}+\overline B_{ji}=\overline{A_{ji}+B_{ji}}=\overline C_{ji}\\&\\&\text{Y lo segundo ver que el producto por una constante es hermítica}\\&\\&Sea\; B=kA\\&\\&B_{ij}=k·A_{ij}=k·\overline A_{ji}= \overline{k·A_{ji}}=\overline B_{ji}\\&\\&\\&----------\\&\\&\text{Es un homomorfismo}\\&\\&Sean\;X_1=(x_1,y_1,z_1,t_1) \;y\;X_2= (x_2,y_2,z_2,t_2)\\&\text{La imagen de }X_1+X_2\;\text{será}\\&\\&(x_1+x_2)+(t_1+t_2) \qquad\quad (y_1+y_2)+i(z_1+z_2)\\& (y_1+y_2)-i(z_1+z_2)\quad\quad\;\; (t_1+t_2)-(x_1+x_2)\\&\\&\text{que no cuesta nada ver que es lo mismo que la suma de las}\\&\text{imágenes. Lo mismo que no cuesta nada comprobar que la}\\&\text{imagen del producto por una constante es la constante por la imagen}\\&\\&\text{Veamos que es monomorfismo}\\&\text{Suponiendo dos imágenes iguales}\\&\\&x_1+t_1= x_2+t_2\\&t_1-x_1 = t_2-x_2\\&2t_1=2t_2\implies t_1=t_2\\&2x_1=2x_2\implies x_1=x_2\\&\\&y_1+iz_1=y_2+iz_2\\&y_1-iz_1=y_2-iz_2\\&2y_1=2y_2\implies y_1=y_2\\&2iz_1=2iz_2\implies z_1=z^2\\&\\&\text{luego } (x_1,y_1,z_1,t_1)=(x_2,y_2,z_2,t_2)\\&\text{Luego es monomorfismo}\\&\\&\text{Y es epimorfismo}\\&\\&Sea \\&a \qquad \quad b+ic\\&b-ic \qquad d\\&\\&Tomaremos\\&\\&x= \frac{a-d}{2}\\&\\&t= \frac{a+d}{2}\\&\\&y=b\\&\\&z=c\\&\\&\text{con lo cual la imagen de (x,y,z,t) es la matriz}\\&\\&\text{Y como es monoformismo y epimorfismo es isomorfismo}\\&\\&\end{align}$$Siento no haberlo escrito todo pero es imposible, el editor de ecuaciones solo permite una matriz si escribes un solo carácter más lo elimina luego no se podía hacer. Además son comprobaciones sencillas lo que no puse.
Saludos.
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