Encontrar los valores que da el area delimitada

Supongo que las parabolas son:

$$\begin{align}&y_1 = x^2 - c^2\\&y_2 = c^2 - x^2\\&\\&\end{align}$$

Veamos un dibujo con un valor cualquiera de c (ej/ 4), para ver que forma tendrían las gráficas

Vemos que y_2 es mayor que y_1 y que las curvas se cortan en +- c, así que el área buscada será

$$\begin{align}&A=\int_{-c}^cy_2-y_1\\&\text{Como la fumción es par, ese área es lo mismo que:}\\&2\int_{0}^cy_2-y_1 = 2 \int_{0}^c (c^2-x^2) - (x^2 - c^2) dx=\\&2 \int_{0}^c c^2-x^2 - x^2 + c^2 dx=2 \int_{0}^c 2c^2-2x^2 dx= \\&4 \int_{0}^c c^2-x^2 dx= 4(c^2x - \frac{x^3}{3})\bigg|_0^c=\\&4(c^3-\frac{c^3}{3})=\frac{8}{3}c^3\\&\text{Ese área tiene que ser 576, por lo tanto}\\&\frac{8}{3}c^3= 576\\&c^3 = \frac{576\cdot3}{8}=216\\&c=\sqrt[3]{216} = 6\end{align}$$

Salu2