Hallar los valores de la línea y la curva
Por favor hallar los valores de m la linea y = mx y la curva y = x
x2+1 encierran una region?, encuentre el area de dicha region.
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Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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¡Hola Flover!
Por la forma que me imagino va a ser una región doble simétrica.
Ahi lo tenemos. He dibujado la recta y=x la cual supongo es la tangente en x=0. Por lo que se ve queda definida la región cuando la pendiente va desde 0 y 1, ambas exclusives
Otra forma de calcularlo es a través de las intersecciones, siempre hay una intersección x=0, y cuando aparte hay otras dos interseccines es cuando se forma la región
$$\begin{align}&mx = \frac{x}{x^2+1}\\&\\&m = \frac{1}{x^2+1}\\&\\&x^2+1= \frac 1m\\&\\&x^2= \frac{1}{m}-1\\&\\&x= \pm \sqrt{\frac 1m-1}\\&\\&\text{Para que haya esas dos intersecciones distintas de 0debe ser}\\&\\&\frac 1m-1 \gt 0\\&\\&\frac{1}{m}\gt 1\\&\\&\text{Debe ser m positivo }m\gt 0\\&\text{Y ya podemos pasar m al otro lado sabiendo que es positivo}\\&\\&1\gt m\\&\\&\text{Luego la respuesta es}\\&0\lt m\lt1\\&\text{lo que ya habíamos dicho antes}\\&\\&\text{Y el área será}\\&\\&A= 2 \int_0^{\sqrt{\frac 1m-1}} \frac{x}{x^2+1}dx= ln(x^2+1)\bigg|_0^{\sqrt{\frac 1m-1}}=\\&\\&ln\left(\frac 1m-1+1 \right)-ln1= ln \frac 1m = -ln\,m\end{align}$$Y eso es todo, sa lu dos.
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