Encontrar la longitud de la curva
Por favor ayudarme con el siguiente ejercicio para hallar la longitud de la curva
1 respuesta
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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¡Hola Flover!
Hay que tener mucho cuidado con estos ejercicios de longitud de arcos, tiene que estar preparado par poder salir, vamos a ver.
$$\begin{align}&L=\int_a^b \sqrt{1+[f'(x)]^2}dx\\&\\&f(x) = \frac{x^4+48}{24x}\\&\\&f'(x)= \frac{4x^3·24x-24(x^4+48)}{24^2x^2}=\\&\\&\frac{96x^4-24x^4-24·48}{24^2x^2}=\\&\\&\frac{3x^4-48}{24x^2}= \frac{x^4-16}{8x^2}\\&\\&\\&L=\int_2^4 \sqrt{1+\left(\frac{x^4-16}{8x^2}\right)^2}dx=\\&\\&\int_2^4 \sqrt{\frac{64x^4+x^8 -32x^4+16^2}{64x^4}}dx=\\&\\&\int_2^4 \sqrt{\frac{x^8 +32x^4+16^2}{64x^4}}dx=\\&\\&\int_2^4 \sqrt{\frac{(x^4+16)^2}{(8x^2)^2}}dx=\\&\\&\int_2^4 \frac{x^4+16}{8x^2}dx=\\&\\&\int_2^4 \left(\frac {x^2}8+2x^{-2}\right)dx=\\&\\&\left[\frac{x^3}{24}- \frac 2x \right]_2^4 =\\&\\&\frac{64}{24}-\frac 24-\frac 8{24}+1=\\&\\&\frac{8}{3}-\frac 12-\frac 13+1=\\&\\&\frac{16-3-2+6}{6}=\frac {17}6\end{align}$$Y eso es todo, sa lu dos.
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