¿Puedes apoyarme con este ejercicio de ecuaciones?
Cual seria el método apropiado de solución para la ecuación diferencial:
$$\begin{align}&\frac{(x^3+e^xseny+y^3)dx}{-(3xy^2+e^xcosy+y^3)dy}=1\end{align}$$
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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¡Hola Ferjuvelo!
Demasiado complicada para resolver por cambio de variable y se ve que no es homogénea ni lineal, veremos si es una ecuación diferencial exacta o se puede hacer exacta con un factor integrante.
$$\begin{align}&\frac{(x^3+e^xseny+y^3)dx}{-(3xy^2+e^xcosy+y^3)dy}=1\\&\\&(x^3+e^xseny+y^3)dx=-(3xy^2+e^xcosy+y^3)dy\\&\\&(x^3+e^xseny+y^3)dx+(3xy^2+e^xcosy+y^3)dy=0\\&\\&M_y= e^xcosy+ 3y^2\\&N_x=3y^2+e^xcosy \\&\\&M_y=N_x \text{ luego es exacta}\\&\\&\text{La solución es de la forma }\\&\\&u(x,y)=C\\&\\&donde\\&\\&u_x=M\\&u_y=N\\&\\&u=\int M\;dx=\int(x^3+e^xseny+y^3)dx=\\&\\&\frac{x^4}{4}+e^xseny + xy^3+\varphi(y)\\&\\&u_y=e^xcosy + 3xy^2+\varphi'(y)=3xy^2+e^xcosy+y^3\\&\\&\varphi'(y)=y^3\\&\\&\varphi(y)= \int y^3 \,dy = \frac {y^4}{4}\\&\\&\text{Sustituimos este valor donde habíamos calculado u}\\&\\&\text{y la expresión de u y solución de la ecuación es}\\&\\&\frac{x^4}{4}+e^xseny + xy^3+\frac{y^4}4=C\end{align}$$Y eso es todo, sa lu dos.
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1 respuesta más de otro experto
Respuesta de Lucas m
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;)
Hola ferjuvelo!
Escribamosla en la forma :
M(x,y)dx+N(x,y)dy=0
$$\begin{align}&(x^3+e^xseny+y^3)dx+(3xy^2+e^xcosy+y^3)dy=0\\&Será \ Diferencial \ exacta \ si \ \ \ M_y=N_x\\&M_y=\frac{\partial M}{\partial y}\\&\\&N_x =\frac{\partial N}{\partial x}\\&\\&M_y=e^xcosy+3y^2\\&N_x=3y^2+e^xcosy\\&\\&Si \ lo \ es \ luego \ existe \ F(x,y)\\&\frac{\partial F}{\partial x}dx+\frac{\partial F}{\partial y}dy=0\\&M(x,y)dx+N(x,y)dy=0\\&donde:\\&M(x,y)=\frac{\partial F}{\partial x}=x^3+e^xseny +y^3\\&\Rightarrow\\&F(x,y) =\int (x^3+e^xseny+y^3)dx+h(y)\\&\\&h(y) \ es \ la Consstante \ integración\\&\\&F(x,y)=\frac{x^4}{4}+e^x seny +y^3x +h(y)\\&\\&derivandola \ respecto \ y, e \ igualándola \ \ a\ N\\&F_y=N\\&e^xcosy+3y^2x+h'(y)=N\\&\\&e^xcosy+3y^2x+h'(y)=3xy^2+e^xcosy + y^3\\&\\&\Rightarrow\\&h'(y)=y^3\\&\\&h(y)= \frac{y^4}{4}\\&\\&Luego \ la solución\ es:\\&\frac{x^4}{4}+e^xseny+y^3x+\frac{y^4}{4}=C\\&\\&\end{align}$$saludos
;)
;)