Como calcular esta integral indefinida

La integral es una división entre dos polinomios, por lo tanto si el polinomio de abajo ( el divisor) es de menor grado que el de arriba se dividen los polinomios. Y por otro lado usamos la siguiente propiedad de las integrales:

$$\begin{align}&\int{f+g}=\int{f}+\int{g}\end{align}$$

Entonces se resuelve de la siguiente manera:

$$\begin{align}&\int{\frac{x^3+3x^2-x+1}{2x}}dx=\int{\frac{x^3}{2x}}dx+\int{\frac{3x^2}{2x}}dx-\int{\frac{x}{2x}}dx+\int{\frac{1}{2x}}dx\\\\&\text{Simplificamos aplicando las propiedades de las potencias.}\\&\int{\frac{x^3}{2x}}dx+\int{\frac{3x^2}{2x}}dx-\int{\frac{x}{2x}}dx+\int{\frac{1}{2x}}dx=\int{\frac{x^2}{2}}dx+\int{\frac{3x}{2}}dx-\int{\frac{1}{2}}dx+\int{\frac{1}{2x}}dx\\\\&\text{Ahora usando la segunda propiedad de las integrales sacamos las constantes fuera de la integral y resolvemos.}\\&\int{\frac{x^2}{2}}dx+\int{\frac{3x}{2}}dx-\int{\frac{1}{2}}dx+\int{\frac{1}{2x}}dx=\frac{1}{2}\int{x^2}dx+\frac{3}{2}\int{x}dx-\int{\frac{1}{2}}dx+\frac{1}{2}\int{\frac{1}{x}}dx=\frac{x^3}{6}+\frac{3x^2}{4}-\frac{x}{2}+\frac{Ln(x)}{2}\end{align}$$

Creo que la forma más sencilla es separar el numerador, así tenemos que:

$$\begin{align}&\int \frac{x^3+3x^2-x+1}{2x} dx = \int \frac{x^3}{2x} dx+ \int \frac{3x^2}{2x} dx-\int \frac{x}{2x} dx+\int \frac{1}{2x} dx = simplificando...\\&\int \frac{x^2}{2} dx+ \int \frac{3x}{2} dx-\int \frac{1}{2} dx+\int \frac{1}{2x} dx = \\&\frac{x^3}{6}+ \frac{3x^2}{4}-\frac{x}{2} + \frac{1}{2}lnx + C\end{align}$$

Salu2

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¡Hola Yolanda!

Puedes descomponerla en cuatro integrales sencillas si divides cada término del numerador entre 2x.

$$\begin{align}&\int \frac{x^3+3x^2-x+1}{2x}dx=\\&\\&\frac 12\int x^2dx+ \frac 32\int x\,dx- \frac 12\int dx+ \frac 12\int \frac {dx}x=\\&\\&\frac 12·\frac {x^3}{3}+ \frac 32·\frac{x^2}{2}- \frac 12 x+ \frac 12 ln |x|+C=\\&\\&\frac {x^3}{6}+\frac{3x^2}{4}-\frac x2+ \frac 12 ln|x|+C\\&\\&\end{align}$$

Y eso es todo, sa lu dos.

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