Cual es el valor de la computadora despues de dos años
Una compañía deprecia una computadora en función del tiempo t medido en años, según la función dP(t)/dt=2400/(t+3)^4.
En donde P(t) es el precio de la maquina t años después de su adquisición.
¿Cuál es su valor después de 2 años?
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Es de la materia de calculo diferencial, es una de 5 preguntas de examen y el profesor nos menciono que existe una que sea falsa, no se si sea el caso de esta, y yo suponía que podría ser 24000 el costo inicial.
Gracias por tomarse el tiempo!
El enunciado es cuanto menos algo confuso. Si se supone que la computadora se deprecia entonces es una función decreciente y la derivada sería negativa, luego habría que cambiarlo porque es positiva.
Si se quiere calcular el valor exacto se hace la integral:
$$\begin{align}&P(t) = -\int \frac{2400}{(t+3)^4}dt=-2400\int (t+3)^{-4}dt=\\&\\&\text{es sencilla se resuelve directamente, \sin hacer cambio}\\&\\&-2400· \frac{(t+3)^{-3}}{-3}+C=\frac{800}{(t+3)^3}+C\\&\\&\text{Si llamamos }P_0 \text{ al valor inicial, tendremos que para t=0}\\&\\&\frac{800}{3^3}+C = P_0\\&\\&C = P_0-\frac{800}{27}\\&\\&\text{Luego la función es}\\&\\&P(t) =\frac{800}{(t+3)^3}+P_0-\frac {800}{27}\\&\\&\text{Con lo cual el valor tras dos años es}\\&\\&P(2) = \frac{800}{5^3}+P_0- \frac{800}{27}=P_0+\frac{27·800-125·800}{27·125}=\\&\\&P_0-\frac{78400}{3375}= P_0-23.2296\\&\\&------------------------\\&\\&\text{Y la otra forma es la aproximada, de nuevo hay que poner}\\&\text{signo menos en la diferencial para que tenga sentido}\\&\\&P(2) = P(0) + \frac{dP(0)}{dt}(2-0)=\\&\\&P(0) - \frac{2400}{3^4}·2 = P(0)-59.2592\end{align}$$El método aproximado solo sirve para intervalos muy cortos o funciones con derivada bastante constante, en este caso no es muy buena la aproximación.
Y eso es todo, saludos.
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