Tengo una duda de como resolver este limite con radicales...
Hola, tengo una duda de como resolver el siguiente limite con radicales..
Respuesta de Valero Angel Serrano Mercadal
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¡Hola Jos!
$$\begin{align}&L=\lim_{x\to 3} \frac{2 \sqrt{4x-3}- \sqrt {12x}}{\sqrt[3]{x-2}-1}=\frac{2·3-6}{1-1}= \frac 00\\&\\&\text{sabemos que}\\&\\&a^3-b^3= (a-b)(a^2+ab+b^2)\\&\\&\frac{1}{a-b}= \frac{a^2+ab+b^2}{a^3-b^3}\\&\\&\text{hacemos}\\&a= \sqrt[3]{x-2}\\&b=1\\&\\&L=\lim_{x\to 3} \frac{(2 \sqrt{4x-3}-\sqrt{12x})·\left(\sqrt[3]{(x-2)^2}+\sqrt[3]{x-2}+1\right)}{x-2-1}=\\&\\&\lim_{x\to 3} \frac{(2 \sqrt{4x-3}-\sqrt{12x})·\left(\sqrt[3]{(x-2)^2}+\sqrt[3]{x-2}+1\right)}{x-3}=\\&\\&\text{Mltiplicamos y dividimos por el conjugado del primer factor}\\&\\&\lim_{x\to 3} \frac{(2 \sqrt{4x-3}-\sqrt{12x})·(2 \sqrt{4x-3}+\sqrt{12x})\left(\sqrt[3]{(x-2)^2}+\sqrt[3]{x-2}+1\right)}{(x-3)(2 \sqrt{4x-3}+\sqrt{12x})}=\\&\\&\lim_{x\to 3} \frac{(16x-12-12x)\left(\sqrt[3]{(x-2)^2}+\sqrt[3]{x-2}+1\right)}{(x-3)(2 \sqrt{4x-3}+\sqrt{12x})}=\\&\\&\lim_{x\to 3} \frac{(4x-12)\left(\sqrt[3]{(x-2)^2}+\sqrt[3]{x-2}+1\right)}{(x-3)(2 \sqrt{4x-3}+\sqrt{12x})}=\\&\\&\lim_{x\to 3} \frac{4\left(\sqrt[3]{(x-2)^2}+\sqrt[3]{x-2}+1\right)}{2 \sqrt{4x-3}+\sqrt{12x}}=\frac{4(1+1+1)}{6+6}=1\\&\end{align}$$Y eso es todo, saludos.
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