¿Cuál es la forma correcta para resolver una ecuación de tercer grado paso a paso del siguiente ejemplo x^3+4x^2+12x+16=0 ?

Las ecuaciones de 3° grado no tienen una forma de resolverlo directa como las de 2° grado. En principio si tiene soluciones racionales las podés buscar entre:

x = m/n

Donde m divide al término independiente tanto positivos como negativos (en este caso 16),

N divide al coeficiente principal, tanto positivo como negativo (en este caso 1)

Por lo tanto en este caso las posibles raíces son: {1,2,4,8,16} siempre con signo positivo y negativo

Como todos los términos están sumando, claramente la solución debería ser un valor negativo, probemos de mayor a menor

x=-16 -->  (-16)^3+4 (-16)^2+12 (-16) +16 = -3248 NO

x = -8 --> (-8)^3+4 (-8)^2+12 (-8) +16 = -336 NO

x = -4 --> (-4)^3+4 (-4)^2+12 (-4) +16 = -32 NO

x = -2 --> (-2)^3+4 (-2)^2+12 (-2) +16 = 0 SI

Paramos acá porque encontramos una raíz, ahora aplicamos Ruffini (o división sintéctica para ver el polinomio de grado 2 que queda)

.........x^3...........4x^2.........12x........16

-2.......................-2..............-4.........-16

........1................2................8...........0

Resultado: x^2 + 2x + 8

Por lo tanto

x^3+4x^2+12x+16= (x + 2) (x^2 + 2x + 8)

Y ese polinomio cuadrático no tiene raíces reales.

Salu2