¿Podria alguien decirme como encuentro y justifico el limite de la siguiente sucesion { (-1)^n * 3n/n^2+4n+5) }?

Cuando tengas operaciones de distinta precedencia (como acá con la suma y la multiplicación y división), asegurate de colocar paréntesis para asegurar de escribir la operación correcta.

$$\begin{align}&\text{Lo que tu escribiste es:}\\&(-1)^n \cdot \frac{3n}{n^2} + 4n + 5\\&\text{Pero supongo que la expresión correcta es:}\\&\frac{(-1)^n\cdot 3n}{n^2+4n+5}\\&\text{Lo voy a resolver suponiendo que es esta última expresión, en caso que sea otra avisa}\\&\lim_{n \to \infty} \frac{(-1)^n\cdot 3n}{n^2+4n+5} = \lim_{n \to \infty} \frac{(-1)^n\cdot 3n}{n^2(1+4/n+5/n^2)} =\\&\lim_{n \to \infty} \frac{(-1)^n\cdot 3}{n(1+4/n+5/n^2)}\\&\text{Si me seguiste hasta ese paso ya está, pues el numerador está acotado (entre -3 y 3) y el}\\&\text{denominador tiende a infinito (lo que está entre parentesis tiende a 1 y el n de afuera lo hace tender a infinito}\\&\text{Sabrás además que } \frac{acotado}{\infty} = 0, así\ que\\&\lim_{n \to \infty} \frac{(-1)^n\cdot 3}{n(1+4/n+5/n^2)}=0\end{align}$$

y eso es todo.

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Salu2