Como hallar el origen y la linea de intersección de una ecuación lineal?

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Hola Fernanda ramos!

Una manera de obtener la ecuación de un plano es a partir de un punto y dos vectores del plano.

Si el punto es (a,b,c) y los vectores son u=(u_1,u_2,u_3)  y  v=(v_1,v_2,v_3) se hace el detrerminante:

|x-a    u_1    v_1|

|x-b    u_2    v_2|  = 0

|x-c    u_3    v_3|

El punto será el origen de coordenadas O=(0,0,0)=(a,b,c)

Necesitamos construir dos vectores del plano. Para ello de la linea de intersección de los dos planos(r) dados sacaré un punto (R)y su vector de dirección(r).(En negrita significa vector)

Un punto cualquiera, por ejemplo z=0

3x-y+2z-4=0         ===>  3x-y=4

x+5y+2z=0           ===>    x+5y=0

Resolviendo este sistema:  x=-5y

sustituyendo en la primera   3(-5y)-y=4   ===>   -16y = 4      ===>  y=4/(-16)=-1/4 ===> x= 5/4

R=(5/4 , -1/4 ,0)

Un vector del plano buscado será OR=R-O=(5/4,-1/4,0)  . Haré un múltiplo de este vector, para no tener fracciones. Cuando un vector se multiplica por un número no cambia su dirección:

4OR=(5,-1,0)

El otro vector sera el vector de dirección de la recta definida por los dos planos. La manera de obtenerlo es haciendo el producto vectorial de los vectores normales de los planos.

n=(3,-1,2)

n'=(1,5,2)

El producto vectorial se hace con el siguiente determinante:

                 |i     j     k|

r=nxn'=   |3    -1    2|   =  i(-2-10)-j (6-2)+k(15+1)=-12 i-4j+16k=(-12,-4,16)

                |1     5     2|

cogeré un múltiplo de  este

-1/4 r=(3,1,-4)

Con los dos vectores del plano y un punto se construye el plano buscado:

|x-a    u_1    v_1|

|x-b    u_2    v_2|  = 0

|x-c    u_3    v_3|

|x    5    3|

|y    -1   1|     = 0

|z    0   -4|

4x +5z-(-3z-20y)=0

4x +20y+8z=0

simplificando la ecuación

x+5y+2z=0

(c.q.d.) Como queríamos demostrar

Saludos

;)

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