Para encontrar la solución de una ecuación diferencial de orden superior con coeficientes variables de la forma a_2 (x) D^2 y(

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Hola alfonso!

$$\begin{align}&x^2y"+xy'=x\\&\\&x^2y"+xy'=0\\&Comprovemos \ las \ homogeneas:\\&\\&1.\\&y_h=c_1+c_2 lnx\\&y'=c_2 \frac 1 x\\&\\&y"=-c_2 \frac 1 {x^2}\\&\\&x^2y"+xy' \stackrel{?}{=}0\\&\\&x^2 \Big( -c_2 \frac 1 {x^2} \Big)+xc_2 \frac 1 x=-c_2+c_2=0\\&Si \ cumple\\&\\&Comprovemos \ las\ particulares:\\&\\&3.-\\&y_p=\frac 1 9 x^3\\&\\&y'=\frac 1 3  x^2\\&\\&y"= \frac 2 3  x\\&\\&x^2y"+xy'=x\\&x^2 \frac 2 3  x+x \frac 1 3  x^2=x^3 \neq x\\&\\&No \ cumple\\&\\&4.-\\&\\&y_p=-\frac 1 9 x^3\\&\\&y'=- \frac 1 3  x^2\\&\\&y"= - \frac 2 3  x\\&\\&x^2y"+xy'=x\\&\\&-x^2 \frac 2 3  x-x \frac 1 3  x^2=-x^3 \neq x\\&\\&No \ cumple\\&\\&\end{align}$$

Solo cumple 1!!!

Saludos

;)

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Gracias, buena información, quisiera preguntarte si el punto 2 cumple o no.. te agradezco eres bastante bueno en el tema