Quien puede resolver ejercicios de integrales enunciando claramente la técnica o propiedad usada.

;)
Hola Posada!
Se hace por el métdo denominado Integral por Partes:

$$\begin{align}&\int x ·sec^2x dx=\\&u=x \Rightarrow du =dx\\&dv= sec^2x·dx \Rightarrow v= \int sec^2x·dx = tanx\\&\\&\\&\int u dv=u·v-\int v du\\&\\&\int x ·sec^2x dx=x·tan x- \int tanx dx=x·tanx-(- ln|cosx|)+C=\\&\\&x·tan(x)+ln | \cos(x)|+C\end{align}$$

Saludos

;)

;)

Un posible método de resolución sería el siguiente :

1. Integramos por partes

$$\begin{align}&\int u v^´dx=uv-\int u^´v\end{align}$$

u=x        du=1

v=tan(x)       dv = sec^2(x) 

Por tanto: 

$$\begin{align}&\int x sec^2(x)dx=xtan(x) -\int tan(x) dx\end{align}$$

$$\begin{align}&x tan(x) -\int tan(x)dx=xtan(x)+\int \frac{-\sin(x)}{\cos(x)}dx=xtan(x)+ln(\cos(x)) + C\end{align}$$

Ya que la derivada del coseno es menos seno : u=cos(x) du= -sin(x) 

En el ejercicio he usado 2 integrales elementales: 

$$\begin{align}&\int \frac{du}{u}dx=ln(u) +C\end{align}$$

$$\begin{align}&\int sec^2(x)dx=tan(x) + C \end{align}$$