Se tiene un SLTI dado por la siguiente ecuación diferencial y´´ 6y´ 9y= e 3x/x2
Favor de apoyar a resolver esta ecuacion.
Se tiene un SLTI dado por la siguiente ecuación diferencial
Obtener la respuesta de entrada cero, después la respuesta de estado cero; y finalmente obtener la solución general del SLTI, partiendo de las 2 respuestas anteriores y aplicando el principio de superposición.
Logre sacar la respuesta.
Para que no quede sin datos.
𝑒−3𝑥
𝑧(𝑥)=-------
𝑥2
𝑦′′ +6𝑦′ +9𝑦
(𝐷2 +6𝐷+9)
𝑚2 +6𝑚+9
(𝑚+3)(𝑚+3)
𝑦ℎ =𝑐1𝑒−3𝑥 +𝑐2𝑥𝑒−3𝑥
𝑦𝑝 =𝑢1(𝑥)𝑒−3𝑥 +𝑢2(𝑥)𝑥𝑒−3𝑥
𝑦𝑝 =𝑢1(𝑥)𝑒⏟−3𝑥 +𝑢2(𝑥)𝑥⏟𝑒 − 3𝑥
𝑦1 𝑦2
𝑦1 =𝑒−3𝑥 → 𝑦1′ =−3𝑒−3𝑥
𝑦2 =𝑥𝑒−3𝑥 → 𝑦2 ′ =𝑒 −3𝑥 −3𝑥𝑒 −3𝑥
{ 𝑢1′(𝑥)𝑒−3𝑥 +𝑢2′(𝑥)𝑥𝑒−3𝑥 =0
-3u1′(𝑥)𝑒 −3𝑥 +𝑢2′(𝑥)(𝑒−3𝑥 −3𝑥𝑒 −3𝑥 )=𝑧(𝑥)
[ e-3x xe-3x ] [𝑢1′(𝑥) ] = [ 0 ]
-3e-3x e-3x - 3xe-3x 𝑢2′(𝑥) e-3x/x2
∆𝑠=[ e-3x xe-3x ]
-3e-3x e-3x – 3xe-3x
∆𝑠=𝑒−6𝑥 −3𝑥𝑒 −6𝑥 +3𝑥𝑒−6𝑥
∆𝑠=𝑒−6𝑥
e-6x/x
𝑢1′(𝑥) = ----------
e-6x
𝑢1′(𝑥) = 1/x
e-6x/x2
𝑢2′(𝑥) = ----------
∆s
e-6x/x2
𝑢2′(𝑥) = ----------
e-6x
𝑢2′(𝑥) = 1/x2
⨜ 𝑢1′(𝑥) = ⨜ 1/x dx
𝑢1′(𝑥) = Inx
⨜ 𝑢2′(𝑥) = ⨜ x-2 dx
𝑢2′(𝑥) = -1/x
1
𝑦𝑝 =𝑙(𝑥)𝑒−3𝑥 +(− )𝑥𝑒−3𝑥
𝑥
𝑦𝑝 =𝑙(𝑥)𝑒−3𝑥 −𝑒−3𝑥
𝑦𝑝 =𝑒−3𝑥 [𝑙(𝑥)−1]
𝑦= 𝑦ℎ +𝑦𝑝
Solución:
𝑦= 𝑐1𝑒−3𝑥 +𝑐2𝑥𝑒−3𝑥 +𝑙(𝑥)𝑒−3𝑥 −𝑒−3𝑥
Entrada 0
𝑦h =c1e−3𝑥 + c2xe-3x
Respuesta estado 0
𝑦𝑝 =𝑒−3𝑥 [𝑙(𝑥)−1]
Solución general
𝑦= 𝑐1𝑒−3𝑥 +𝑐2𝑥𝑒−3𝑥 +𝑙(𝑥)𝑒−3𝑥 −𝑒−3𝑥
