Ecuaciones Diferenciales... Me hes complicado entender este ejercicio, dudas
Una persona de 70 kg de masa se lanza en una práctica de bungee jumping. Si en el tiempo t=0 la banda elástica ha cedido 8 metros y la velocidad de ascenso es de 30m/seg, Halle la función x(t) que describe el movimiento libre resultante si se sabe que la banda elástica tiene una constante de elasticidad de 350N/m.
2 Respuestas
Haciendo la suma de fuerzas sobre la persona :
$$\begin{align}&F_T=ky-mg\end{align}$$Llamando y a la distancia en el eje vertical, positiva hacia arriba y con el 0 en el lugar del salto.
Utilizando la segunda ley de Newton:
$$\begin{align}&a=\frac{ky}{m}-g\\&\\&y''=\frac{ky}{m}-g\end{align}$$Se trata de una ecuación diferencial de segundo orden de coeficientes constantes no homogénea.
La solución será la suma de la general de la homogénea y una particular de la concreta:
$$\begin{align}&y_{GC}=y_{GH}+y_{PC}\end{align}$$Empecemos por resolver la ecuación homogénea asociada, para ello resolvemos la ecuación característica:
$$\begin{align}&r^2-\frac{k}{m}r=0\\&r_1=0\\&r_2=\frac{k}{m}\end{align}$$Así:
$$\begin{align}&y_{GH}=C_1e^{\frac{k}{m}t}+C_2\end{align}$$Ahora resolveremos la particular de la completa, y nos fijamos en que esta podrá ser simplemente una constante:
$$\begin{align}&y_{pc}=cte \\&-\frac{k}{m}y_{PC}+g=0\\&y_{PC}=\frac{mg}{k}\end{align}$$Por tanto la solución será:
$$\begin{align}&y_{GC}=C_1e^{\frac{k}{m}t}+C_2+\frac{mg}{k}\end{align}$$Ahora tomando las condiciones iniciales del enunciado y sustituyendo los datos extraemos las constantes y obtenemos el resultado final:
$$\begin{align}&y_{GC}(0)=8=C_1+C_2+\frac{mg}{k}\\&y'_{GC}(0)=30=\frac{C_1m}{k}\\&\\&C_1=\frac{30m}{k}=6\\&C_2=0,04\end{align}$$Sustituyendo las constantes :
$$\begin{align}&Y(t)=6e^{0,2t}+2\end{align}$$Espero haberte ayudado , esto lleva su tiempo así que no olvides de puntuar excelente :)
Perdón, estuve viendo tu deducción pero me parece que llegas a un resultado erróneo porque la función Y(t) que mostrás tiende a infinito con t creciente y el resultado debiera ser una función acotada oscilante y amortiguada. Creo que el Profesor Valero lo tiene resuelto no hace mucho. - albert buscapolos Ing°
Tienes toda la razón alberto, tenía oxidadas las ecuaciones diferenciales y he cometido un error al principio , ya que la ecuación característica que asocio a la homogénea no es correcta sobra la "y" (creo que ese a sido el único error ) y a partir de ahí ... No lo revise mucho pues me quedaron número muy redondos, pero es cierto que no tiene sentido conceptualmente. PD: ¿Sabes si puedo borrar la respuesta de alguna manera?, y así evitar que alguien se confunda - Kvothe Orwell
Hola...a mí me pasó más de una vez..... no se cómo inhabilitar respuestas...... - albert buscapolos Ing°