1. Dado el conjunto S = {u1, u2} donde u1 = (5, 1) y u2 = (-3, -2). Demuestre que S genera a R2.
Buenas tardes amigos de todo expertos espero me ayuden con esta mi tarea
1 Respuesta
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¡Hola Oscar!
R2 es un espacio de dimensión dos, las bases tienen dimensión dos, basta ver que los dos elementos son linealmente independientes. Siendo dos elementos no nulos son independientes si no son proporcionales.
$$\begin{align}&\frac 5{-3}=\frac 1{-2} \implies-10=-3 \quad absurdo\end{align}$$Luego no son proporcionales y son linealmante independientes.
Otra forma es viendo que el determinante es distinto de 0
|5 1|
|-3 -2| =-10 + 3 = -7
-----------------
Y como decía basta con ver que son l.i., pero si quieres o te obligan se puede demostrar que también es un sistema generador. Sea (a, b) de R2, vamos a buscar los coeficientes x, y de la combinación lineal que genera (a, b)
x(5,1) + y(-3,-2) = (a, b)
5x - 3y = a
x - 2y = b
multiplico la segunda por (-5)
5x - 3y = a
-5x +10y = -5b
las sumo
7y = a-5b
y = (a-5b )/7
x = b+2y = b +2(a-5b)/7 = (b+2a-10b)/7 = (2a-9b)/7
Luego existen esos coeficientes y es un sistema generador de R2.
Y eso es todo, sa lu dos.
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