¿Qué determina que un conjunto sea generador de espacios vectoriales?
Podrían explicarme exactamente cuando un conjunto genera espacios vectoriales, con ejemplo en lo posible.
1 respuesta
;)
Hola Jaime Ross!
Un sistema generador del subconjunto A es un conjunto de vectores que por combinación lineal genera todos los vectores de A. Así el vector (1,0) es un sistema generador de todos los vectores paralelos al eje X ya que los vectores de la forma (m, 0)=m(1,0)
No confundir este concepto con el de base, ya que si bien toda base es un sistema generador, la implicación inversa no siempre es cierta.
El conjunto {(1,0),(0,1)} también es un sistema generador, pero además es una Base del Espacio Vectorial R2. Ya que todos los vectores del plano se generan como combinación lineal de esos dos vectores. Para que un sistema generador lo sea de Espacios Vectoriales el conjunto A debe de ser una base de vectores. Una Base es un sistema generador que cumple:
- Todos los elementos de B pertenecen al espacio vectorial V.
- Los elementos de B forman un sistema linealmente independiente.
- Todo elemento de V se puede escribir como combinación lineal de los elementos de la base B (es decir, B es un sistema generador de V).
Saludos
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