Problema 4. Una elipse tiene centro en (-4,-2), y un foco está en (6,-2); además pasa por el punto Q(-4,-7). Hallar la ecuación

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¡Hola Oscar!

El centro y el foco están en horizontal en la recta

y=-2

Eso significa que su forma canónica es esta:

$$\begin{align}&\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2}=1\\&\\&\text{donde (h,k) es el centro, por tanto}\\&\\&\frac{(x+4)^2}{a^2}+\frac{(y+2)^2}{b^2}=1\\&\\&\text{El foco está en (6,-2), la distancia al centro (-4,-2) es} \\&\text{la semidistancia focal c}\\&c = 6-(-4)=10\\&\\&\text{En una elipse se cumple}\\&\\&a^2=b^2+c^2\\&\\&a^2 = b^2 + 10^2\\&\\&\text{Por otra parte la elipse pasa por (-4,-7)}\\&\\&\frac{(-4+4)^2}{a^2}+\frac{(-7+2)^2}{b^2}=1\\&\\&\frac{25}{b^2}=1 \implies b^2=25\\&\\&a^2 = 25+10^2 = 125\\&\\&\text{Luego la ecuación es:}\\&\\&\frac{(x+4)^2}{125}+\frac{(y+2)^2}{25}=1\\&\\&\\&\end{align}$$

Y esta es la comprobación:

Y eso es todo, sa lu dos.

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