¿ Cómo se realiza este ejercicio?
Se considera un punto P situado en la línea recta entre el Sol y la Tierra. La distancia del punto P a la Tierra es igual al radio de la órbita circular de la Luna alrededor de la Tierra.
(a) Sin tener en cuenta el efecto de la Luna, calcular el campo gravitatorio en el punto P.
(b) Suponiendo ahora que la Luna se encuentra en el punto P, calcular la fuerza que actúa sobre ella.
(c) Calcular cuál debería ser el radio de la órbita circular de la Luna alrededor de la Tierra para que la fuerza sobre la Luna fuera nula cuando se encuentre en un punto situado entre el Sol y la Tierra.
(Datos numéricos: G=6,67×10^−11 Nm^2/kg^2; MS =1,99×10^30 kg; MT=5,98×10^24kg; ML =7,35×10^22 kg; rTL=3,84×10^8 m; rST=1,496×10^11 m)
1 Respuesta
a)
El módulo del campo gravitatorio en un punto de la órbita lunar vale
g = G·MT / rTL^2
siendo MT la masa de la Tierra y rTL el radio de la órbita lunar.
g =6,67·10^(-11) · 5,98·10^24 / (3,84·10^8)^2 = 0,0027 N/kg (o m/s^2)
b)
F = ML·g = 7,35·10^22 · 0,0027 = 1,98 · 10^20 N
c)
Supongamos que el punto donde el campo gravitatorio generado por la Tierra se compensa exactamente con el generado por el Sol está a una distancia rTL de la Tierra y rSL del Sol, cumpliéndose que rSL = rTS-rTL, siendo rTS la distancia Tierra-Sol.
La condición que se da en ese punto es
FT = FS
GMT·ML/rTL^2 = GMS·ML/rSL^2
MT/rTL^2 = MS/rSL^2
MT/rTL^2 = MS/(rTS - rTL)^2
(rTS - rTL)^2 / rTL^2 = MS/MT
$$\begin{align}&\frac{rTS - rTL}{rTL} = \sqrt{\frac{MS}{MT}}\\&\\&rTS-rTL=rTL·\sqrt{\frac{MS}{MT}}\\&\\&rTS=rTL·[1+\sqrt{\frac{MS}{MT}}\ ]\\&\\&rTL=\frac{rTS}{1+\sqrt{\frac{Ms}{MT}}}\end{align}$$Sustituyendo y operando encontramos
rTL = 2,59·10^8 m
Que, como ves, es inferior al radio de la órbita lunar.
