Ok, ahora sí...
Lo vimos para n=2, en realidad habría que hacerlo para n=1 (te lo dejo de tarea, si tienes dudas pregunta)
Veamos ahora el paso inductivo, pero antes para simplificar la notación vos a escribir esa sumatoria de una manera abreviada
$$\begin{align}&1+q+...+q^{n-1}=\sum_{i=0}^{n-1}q^i\\&\text{Lo que dice el principio de inducción es que suponiendo que vale para n, entonces vale pare n+1, o sea}\\&P(n) \to P(n+1)\\&\text{Voy a volver a escribir P(n) para que quede claro el punto por la confusión inicial}\\&\sum_{i=0}^{n-1}q^i = \frac{q^n-1}{q-1}\\&O\ sea\ que:\\&\sum_{i=0}^{n-1}q^i = \frac{q^n-1}{q-1} \Rightarrow \sum_{i=0}^{n}q^i = \frac{q^{n+1}-1}{q-1} \\&\\&\text{Partiendo del lado izquierdo de P(n+1)}\\&\sum_{i=0}^{n}q^i=\sum_{i=0}^{n-1}q^i+q^{n} \text{...(separé el último término, así ya tenemos la sumatoria igual a la base del paso inductivo)}\\&= \frac{q^n-1}{q-1}+q^n....(común\ denominador)\\&= \frac{q^n-1+q^n(q-1)}{q-1}= \frac{q^n-1+q^{n+1}-q^n}{q-1}= \frac{q^{n+1}-1}{q-1}\end{align}$$
Por lo tanto queda demostrado.
Salu2