Determine Dy, D^2y en las siguientes ecuaciones

;)
Hola Gabriel!

Como ya te comenté eso se deriva implícitamente, es decir sin tener la y despejada

y=f(x)  explícita.

Para Derivar implícitamente se aplican las mismas reglas de derivar. Pero teniendo en cuenta que cuando derivas y, es una y=y(x) i aplicas la Regla de la Cadena

Así

D(x)=1

D(y)=y'

D(xy)= regla producto= 1·y+x·y'

$$\begin{align}&D(x^2)=2x\\&D(y^2)=2yy'\\&D(senx)=cosx\\&D(seny)=cosy·y'\end{align}$$

1) Por otro lado también aplicamos el hecho que si tengo una ecuación, la derivada del primer miembro será igual a la derivada delsegundo miembro

$$\begin{align}&x^2-xy+y^2+3=0\\&\\&derivando \ los \ dos \ miembros:\\&\\&2x-(1·y+x·y')+2yy'+0=0\\&\\&Ahora \ despejamos \ y'\\&\\&Sacando \ factor \ común \ a \ y'\\&2x-y-xy'+2yy'=0\\&y'(2y-x)=y-2x\\&\\&y'=\frac{y -2x}{2y-x}\end{align}$$

La Derivada implícita se deja en función de y i x

2)

$$\begin{align}&9x^2-4y^2=36\\&\\&18x-8yy'=0\\&18x=8yy'\\&\\&y'= \frac {18x}{8y}=\frac{9x}{4y}\end{align}$$

Saludos

;)

;)

muchas gracias Lucas, y la D^2y en que consiste?

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Es la derivada segunda. Consiste en volver a derivar lo que ya has derivado.

1)

La voy a derivar desde el penúltimo paso:

$$\begin{align}&y'(2y-x)=y-2x\\&derivando  \ los \ dos \ miembros \ de \ la \ ecuación\\®la \ producto\\&\\&\\&y''(2y-x)+y'(2y'-1)=y'-2\\&despejando \ la \ segunda \ derivada:\\&\\&y''(2y-x)=y'-2-y'(2y'-1)\\&\\&y''=\frac{y'-2-y'(2y'-1)}{2y-x}\end{align}$$

2)

$$\begin{align}&y'=\frac{9x}{4y}\\&\\&\ regla \ cociente:\\&\\&y''=\frac{9·4y-9x·4y'}{(4y)^2}\\&\\&y''=\frac{36y-36xy'}{16y^2}= \frac{36(y-xy')}{16y^2}\\&\\&y''=\frac{9(y-xy')}{4y^2}\end{align}$$

saludos

;)

;)

oh muy bien, espero poder entender  -.-

Sofi me dice que no le permiten calificarte porque tiene restricciones en un limite de votos positivos, en preguntas que no sean las de ella. 

;)

No problem!

Visca el Barça!

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oye Lucas, ahorita me encontré esto,

$$\begin{align}&f(x)=(sen\ x+ \cos\ x)^2\\&f'(x)=?\end{align}$$

y yo lo planteo de esta manera 

$$\begin{align}&f(x)=(\sin\ x+ \cos\ x)^2\\&\\&(\sin\ x+ \cos\ x)^2=\sin^2x+\cos^2x=1\\&por \ \  consecuencia\ su \ \ derivada\ \ es\ \  0\\&pero \ la  \  rta\ es : 2(\cos^2x - \sin ^2x)= 2 \cos \ 2x\\&\end{align}$$

;)

Ojo con el cuadrado de un binomio, o de una suma:

(A+B)^2=A^2+2AB+B^2

=sen^2x+cos^2x+2senxcosx=

=1+sen(2x)

Y'=cos(2x)•2

He utilizado lA fórmula del seno del ángulo doble. Sino usa regla del producto para derivar 2senxcosx

Otra manera y=(senx+cosx)^2

y'=2(senx+cosx)(cosx-senx)=

2(cos^2x-sen^2x)=2cos(2x)

Lo bueno de las derivadas es que se puede derivar lo que sea sin tener que operar previamente sino quieres.

;)

;)

ops si si es verdad,  y cuando pones 1+sen(2x) de donde viene ese sen(2x)

Son dos formulas trigonométricas que se utilizan mucho en ecuaciones trigonométricas, integrales y para manipular expresiones algebraicas trigonométricas.

Son las formulas del seno y coseno del ángulo doble:

Sen(2x)=2senxcosx

Cos(2x)=cos^2x-sen^2x

Vete familiarizando con ellas.

;)

muy bien Lucas, muchas gracias y con respecto al ejercicio inicial, veo que en donde esta xy haces una suma eso seria como 

$$\begin{align}&D \ \ xy=(x +y)? \ \  de \  los \ dos\ \ terminos \ \ cual \ derivo?\end{align}$$

No.

Solo aplico la regla del producto ya que x•y es un producto

D(xy)=f'g+fg'=1•y+x•y'=y+xy'

;)

oh ya, por ejemplo si tengo

$$\begin{align}& ... \  + \ 3xy\  + \ ... \\&\\&3(1 \ y+x\ y')\\&3y+ 3xy'?\\&ese \ \ numero\  no \ se \ \ deriva \\&\\&\end{align}$$