Ecuacion tangente a la curva de la forma y=mx+b
$$\begin{align}&tiene \ \ en \ \ cada \ \ punto\ \ la \ \ pendiente \ \ \sqrt{16-x} \ \ y \ \ que \ \ pasa \ \ por \ (0,-{1\over3}) , \ hallar \ \ la \ \ \\& ecuacion \ \ tangente \ \ a \ \ la \ \ curva \ \ \end{align}$$
3 Respuestas
Primero debes integrar, ya que esa pendiente que te dan es la derivada de la función que tu quieres encontrar:
Esa integral puede resolverse por sustitución o por esta formulita de aquí:
$$\begin{align}&\int f(g(x)).g´(x)dx=F(g(x))+C\end{align}$$Mira como aplicarla:
$$\begin{align}&\int \sqrt(16-x) dx=(-2/3 ).\sqrt(16-x)^3+C\end{align}$$entonces siendo:
$$\begin{align}&f(x)=\sqrt(x)\\&g(x)=-1\end{align}$$Te queda que:
$$\begin{align}&f(x)=-(2/3) \sqrt(16-x)^3+C\end{align}$$Por lo cual tu f(x) hasta el momento es:
$$\begin{align}&f(x)=-(2/3) \sqrt(16-x)^3+C\\&\end{align}$$Decir que la función pasa por (0,-1/3) es lo mismo que decir que f(0)=-1/3
$$\begin{align}&f(0)=-(2/3)\sqrt (16-0)^3+C=-(1/3)\\&\\&despejando C:\\&\\&C=7/3\\&\\&f(x)=-(2/3)\sqrt (16-x)^3+7/3\end{align}$$
Perdón despeje mal C, C= 127/3
¡muchas gracias por tu ayuda! super agradecida
De nada, no esta muy prolijo cualquier cosa repregunta!
justo la respuesta es
$$\begin{align}&y=-{2\over6}(16-x)^{3\over2}+{127\over3}\end{align}$$
No, interpreté mal el ejercicio, no hay que integrar, es como dijo Lucas.
Mira, vos tenes que llegar a una función lineal del tipo:
$$\begin{align}&y = mx+b\end{align}$$Donde m es la pendiente y b la ordenada al origen.
m será igual a:
$$\begin{align}&f´(0)=\sqrt(16-0)=4\end{align}$$Hasta ahora nuestra función lineal, que es la ecuación de la recta tangente queda:
$$\begin{align}&y=4x+b\end{align}$$Pero como sabemos que el punto de tangente le pertenece tanto a la ecuación de la recta tangente como asi también a la función para la cual calculamos dicha recta, entonces:
$$\begin{align}&y(0)=4.0+b=-1/3\\&\\&b=-1/3\\&\\&\end{align}$$Finalmente la ecuación de la recta tangente queda...
$$\begin{align}&y=4x-1/3\end{align}$$
Lucas m, aun no se integrar, no hay una forma con el tema que estamos viendo ahorita, lo he intentado resolver. Solo que no llego a la respuesta
¿Ya habéis empezado las integrales?
Es la operación inversa de la derivada.
Es decir si me dan la derivada (pendientes de rectas tangentes) calcular su Primitiva (la función)
¿
¿?
;)
;)
justo cuando enviar la pregunta, llego la tuya.
no, aun no he llegado a ese tema. :(
;)
Ahora que lo releo atentamente es más fácil que todo eso. ., ya que te dan el punto (0,-1/3) y también te dan la derivada ya que dice que las pendientes de las tangentes son √{16-x} esto es la derivada,
Luego y'(0)=√{16-0}=4
Recta tangente:
y-(-1/3)=4(x-0)
y 4x-1/3
Fácil
;)
;)
Y=4x-1/3
;)
Lucas, me indicas que estoy haciendo mal please,
$$\begin{align}&\\&\\&tiene\ en \ cada \ punto \ la \ pendiente \\&\sqrt{16−x} \ y \ que \ pasa\ por\ (0,−{1\over3})\\&hallar \ la \ ecuacion\ tangente\ a\ la \ curva \ \\&\\&\int{\sqrt{16-x} \ dx}\\&\int{(16-x)^{1\over2} \ dx}\\&={(16-x)^{{1\over2}+1}\over{1\over2}+1} +c\\&={2\over3}(16-x)^{3\over2}+c\\&como \ x=0, y=-{1\over3}\\&y={2\over3}(16-x)^{3\over2}+c\\&-{1\over3}={2\over3}(16-x)^{3\over2}+c\\&\\&-{1\over3}-{2\over3}(16-x)^{3\over2}=c\\&-{3\over3}\sqrt{(16-x)^3}=c\\&-1 \sqrt{(16- 0)^3}=c\\&-1 \sqrt{(16)^3}=c\\&-1\ \sqrt{(4096)}=c\\&-64=c\\&\\&\\&\\&\\&\\&\end{align}$$es similar a ejercicio de Gabriel
;)
Al integrar te falta un signo menos que viene de balancear la derivada
y=-2/3(16-x)^(3/2)+ c
Ese menos es necesario por el menos que lleva la x en (16-x)
;)
;)
what's?
eso no es si fuera
$$\begin{align}&\int{x\ \sqrt{16-x} \ \ \ dx}\end{align}$$
Si hubiera esa x fuera dentro de la raíz tendría que estar (16-x^2)
INTG es el símbolo integral:
INTG x√(16-x^2) dx =
-1/2INTG -2x√(16-x^2) dx=
-1/2 [(16-x^2)^(3/2)]/(3/2)=
-1/3 (16-x^2)^(3/2)
;)
;)