Como se determina el angulo de intersección entre los pares de curvas
$$\begin{align}&cual \ \ es \ \ el \ \ angulo \ \ de \ \ intersecci\acute{o}n \ \ entre:\\&\\&a) \ \ f(x)=x^3 \ \ \ \ \ \ \ f(x) = x^2\\&\\&b) \ \ f(x)=x^3 \ \ \ \ \ \ \ \ f(x)=x\\&\end{align}$$
1 Respuesta
Si el tema ángulos te referías a este tipo de problemas es sencillo
Utilizamos la fórmula del producto escalar de dos vectores:
U•V=|U||V|cos(@)
@=alfa=ángulo
U i V son vectores de componentes
U•V=(u_1,u_2)•(v_1,v_2)=u_1•v_1+u_2•v_2
|U|=√{u_1^2+u_2^2} (es el módulo del vector)
El ángulo de intereseccion de dos curvas es el ángulo que determinan las rectas tangentes a las curvas en el punto de intersección.
Otra cosa que debes conocer es como se obtiene un vector de dirección de una recta.
Has de saber que esto se puede hacer de varias maneras. Como lo que vamos a obtener son pendientes de las rectas tangentes, has de memorizar que un vector de una recta se puede construir (1, m).
1)Por igualación calculamos el punto de corte o intersección de las dos funciones
y=x^3
y=x^2
x^3=x^2
x^3-x^2=0. Factor común:
x^2(x-1)=0. ===> x^2=0 ==> x=0
(x-1)=0 ===> x =1
Hay dos intersecciones, luego hemos de calcular dos ángulos.
Calculamos las pendientes de las rectas tangentes en x=0, con sus derivadas
f'=3x^2. ==>f'(0)=0=m ==>U=(1,0)
Y'=2x ==> Y'(0)=0=m* ==> V=(1,0)
|U|=1;. |V|=1
Producto escalar de los dos vectores
U•V=(1,0)•(1,0)=1+0=1
Cos@=1/(1•1)=1
@=arccos 1=0°
Hacemos lo mismo en x=1
f'(1)=3•1^2=3. ==>U=(1,3)
Y'(1)=2•1=2 ==> V=(1,2)
|U|=√{1^2+3^2)=√(10)
|V|=√(1^2+2^2)=√5
U•V=(1,3)(1,2)=1+6=7
Cos@=7/(√5 •√(10))=7/√(50)
@=arccos (7/√(50))=8,13°
muchas gracias, espero poder entender
Lucas, para la primera me dan de respuesta
$$\begin{align}&tan \ \alpha _{1}={1\over7}, \ \ tan \ \ \alpha \ _2=0\\&\ para \ \ la \ \ segunda \ me \ dan \\&tan \ \alpha _{1}={1\over2}, \ tan \ \ \alpha \ _2=1\\&\end{align}$$
;)vale,
Entonces has de usar otra fórmula para calcular el ángulo, no usA vectores usa directamente las pendientes con la fórmula tan@=|(m-m*)/(1+mm*)|
Donde las barras es el valor absoluto, para obtener el ángulo menor entre las dos rectas, y m i m* son las pendientes.
Comprobemos
En x=0
tan@=|(0-0)/(1+0)|=0 correcto
En x=1 las pendientes eran 3 y 2
tan@=|(3-2)/(1+3•2)|=1/7 correcto
Resumiendo olvídate del método vectorial y solo te has de aprender esa fórmula que te calcula la tangente del ángulo entre dos rectas a partir de sus pendientes, que como son rectas tangentes son sus derivadas.
Nota que usamos la palabra tangente para dos cosas diferentes:
La tangente de un ángulo
La recta tangente
;)
