Anónimo
Anti derivadas de funciones compuestas
Como puedo determinar las siguiente integral
$$\begin{align}& 1.\int{(x^3-3)^2 \ x^2 \ dx}\end{align}$$$$\begin{align}& 2. \ \int{x\ \sqrt{x^2-3} \ \ \ \ dx}\end{align}$$$$\begin{align}&3. \ \ \int{(x^2-10x)^7 \ (x-5) \ dx}\end{align}$$
1 respuesta
;)
Hola Anónimo!
Son integrales quasi-inmediatas, tipo:
$$\begin{align}&\int [u(x)]^n·u'(x)dx= \frac {u^{n+1}}{n+1}+C\end{align}$$Tienes una potencia de una función y su derivada. Si en la derivada falta alguna constante se balancea:
$$\begin{align}&\int(x^3-3)^2·\frac{3x^2}{3}dx=\frac 1 3 \int (x^3-3)^2·3x^2dx= \frac 1 3 ·\frac{(x^3-3)^3}{3}+C\\&\\&\int \sqrt{x^2-3}·\frac{2x}2 dx=\frac 1 2 \int(x^2-3)^\frac 1 2·2xdx=\frac 1 2 ·\frac{(x^2-3)^\frac 3 2} {\frac 3 2}+C\\&\\&\int(x^2-10x)^7·2(x-5)· \frac 1 2dx=\frac 1 2 \int (x^2-10x)^7(2x-10) dx= \frac 1 2 ·\frac{(x^2-10x)^8} 8+C\end{align}$$Saludos y recuerda votar
;)
;)
XD
Cual seria el proceso de balanceo o la fórmula>
;)
Observa que son integrales tipo:
$$\begin{align}&\int [u(x)]^n·u'(x)dx= \frac {u^{n+1}}{n+1}+C\end{align}$$en la función integras hay una potencia u(x)^n y su derivada u'(x)
Si en su derivada falta alguna constante, multiplicas y divides por esa constante:
En la primera D(x^3-3)=3x^2, falta el 3, por eso multiplico y divido por 3; en el siguiente paso el 3 que divide, que no está en la derivada lo saco fuera de la integral.
En las egunda es una potencia de (x^2-3); su derivada es 2x, falta el 2, por eso multiplico y divido por 2.
En la tercera es una potencia de (x^2-10x); su derivada es (2x-10); en la integral aparece la mitad
(x-5) por eso balanceo multiplicando y dividiendo por 2.
;)
;)