Determinar la ecuación de la curva que tiene en cada punto la pendiente dada y pasa por el punto indicado

;) No tengo ahora el ordenador a mano.

Desde el móvil no puedo abrir el editor de ecuaciones. INTG será integral.

La función que calcula las pendientes de una curva (=pendientes de rectas tangentes)es la derivada.Luego para calcular la función has de integrar esa función derivada:

1)

INTG Dy=y= INTG (3x^2-2)dx=x^3-2x+C

Calculamos la C a partir del punto conocido de la curva, ya que por ser de esa curva cumple su ecuación:

y (3)=1

3^3-2•3+C=1

C=1-27+6==-20

Solución: 

Y=x^3-2x-20

2)

INTG x(x^2+4)^(-1/2) dx=

Balanceando la derivada

1/2•INTG 2x(x^2+4)^(-1/2) dx=

1/2[ (x^2+4)^(-1/2 +1)]/(-1/2+1)=

1/2[(x^2+4)^(1/2)]/(1/2)=

(x^2+4)^(1/2)+C

y (0)=2

(0+4)^(1/2)+C=2

2+C=2

C=0

Solución:. y=√(x^2+4)

Saludos

;)

;)

$$\begin{align}&\int Dy=y= \int{(3x^2-2)dx} \\&=x^3-2x+C\\&\\&Calculamos \ la \ C \ a \  partir \ del \  punto \  conocido \ de \ la \ curva, \ ya \ que\  por\  ser \ de esa \ curva\  cumple\  su\  ecuación:\\&\\&y (3)=1\\& \\&3^3-2•3+C=1\\&\\&C=1-27+6=-20\\&\\&Solución: \\&\\&Y=x^3-2x-20\\&\\&2)\\&\\&\int{x(x^2+4)^{-{1\over2}} \ dx}=\\&\\&Balanceando \ la \  derivada\\&\\&{1\over2}\int{2x(x^2+4)^{-{1\over2}} dx}=\\&\\&{1\over2}{ (x^2+4)^{-{1\over2}+1} \over-1/2+1}=\\&\\&{1\over2}{(x^2+4)^{{1\over2}}\over{1\over2}}\\&\\&=(x^2+4)^{1\over2}+C\\&\\&y (0)=2\\&\\&(0+4)^{1\over2}+C=2\\&\\&2+C=2\\&\\&C=0\\&\\&Solución:. y=√(x^2+4)\end{align}$$

Así para que la pueda entender mejor, muchas gracias