Anónimo
La funcion que se presenta tiene un minimo relativo cuando x(equis) es igual a ?
$$\begin{align}&f(x)=x^3-3x\\&\end{align}$$A) -3
B) -1
C) 0
D) 1
1 respuesta
;)
f'(x)=3x^2-3
Condición necesaria para que haya un mínimo: y'=0
3x^2-3=0
x^2=1
x=1
x=-1
Criterio de suficiencia para mínimo:
Y''(a)>0
y''=6x
Y''(1)=6>0==> mínimo
Y''(-1)=-6<0 ==> máximo
La D
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¿Los valores extremos Máximo mínimo no se calculan con la primera derivada igualada a cero?
Si. Eso es una condición necesaria pero no es suficiente.
Ya que la derivada igualada a 0 quiere decir que en ese punto la recta tangente es horizontal. Y con recta tangente horizontal hay otra opción: que sea un punto de inflexión con tangente horizontal.
Para distinguir que opción es, hay dos maneras:
Estudiando el crecimiento de la función a izquierda y derecha de esos puntos.
Esto se hace con el signo de la derivada primera.
Así en este caso los intervalos de crecimiento en este caso serían:
(-infinito,-1)==>y'(-10)=3(10)^2-3 >0 =>crece
(-1,1)==> y'(0)=-3<0 ==> decrece
(1,+infinito)==> y'(10)=300-3>0 ==> crece
Ahora ya podemos concluir que en x=-1 hay un máximo, y que en x=1 hay un mínimo
En los puntos de inflexión el crecimiento no cambia. Los puntos de inflexión están relacionados con la concavidad -convexidad de la curva. Como esta terminología he visto que cambia según los países, yo prefiero llamar cóncava a la forma U: hacia arriba;
Y convexa : hacia abajo (u invertida ^)
La concavidad se conoce con el signo de la derivada segunda.
Si y''>0 ==> hacia arriba U
Si y''<0 ==> hacia abajo ^
En los puntos de inflexión la función no es ni cóncava ni convexa, luego la condición necesaria de los Puntos. Inflx es que y"=0.
Supongo que sabes que es un PI.
Bien, pero qué pasa con funcions donde se anula tanto y', ¿cómo y'' en el mismo punto?
Será máximo, ¿mínimo o punto de inflexión?
Por eso hablamos de condición necesaria pero no suficiente.
Busca la gráfica de y=x^3
y'=3x^2=0 ==> x=0
Y''=6x=0 ==> x=0
Observa ahora que el signo de la primera derivada (3x^2)>0 en todo su dominio. Luego siempre es creciente, y por tanto aunque y'(0)=0 , no es ni máximo ni mínimo, es P.I. con tangente horizontal. Ojo! Que no todos los PI. Tienen tangente horizontal.
El criterio de la segunda derivada, consiste en mirar el signo de la segunda derivada en los puntos donde la primera vale cero.
Lo que he hecho antes.
Si y''(1)>0 quiere decir que en 1 (además de tener la tangente horizontal porque y'(1)=0)
es cóncava hacia abajo ==> mínimo
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