Aplica la regla del punto medio con el valor dado de n para calcular el valor aproximado de la siguiente integral

La regla del punto medio, nos indica lo siguiente,

$$\begin{align}&\int_{a}^{b}{f(x)}dx\approx\frac{b-a}{n}\sum_{i=1}^{n}f(\overline{x}_{i})=\frac{b-a}{n}[f(\overline{x}_{1})+f(\overline{x}_{2})+...+f(\overline{x}_{n})]\end{align}$$

donde \overline{x}_{i} es el punto medio del i-ésimo subintervalo [x_{i-1},x_{i}], es decir

$$\begin{align}&\overline{x}_{i}=\frac{1}{2}(x_{i-1}+x_{i})\end{align}$$

entonces vamos, haciendo,

$$\begin{align}&\Delta x=\frac{b-a}{n}=\frac{2-1}{10}=\frac{1}{10}\\&\textrm{entonces, los intervalos serán,}\\&\left[1,\frac{11}{10}\right],\left[\frac{11}{10},\frac{12}{10}\right],\left[\frac{12}{10},\frac{13}{10}\right],\left[\frac{13}{10},\frac{14}{10}\right],\left[\frac{14}{10},\frac{15}{10}\right],\left[\frac{15}{10},\frac{16}{10}\right],\left[\frac{16}{10},\frac{17}{10}\right],\left[\frac{17}{10},\frac{18}{10}\right],\left[\frac{18}{10},\frac{19}{10}\right],\left[\frac{19}{10},\frac{20}{10}=2\right]\end{align}$$

y aquí tenemos los diez intervalos cada uno distanciado por  1/10, y ahora debemos buscar los i-

Esimos puntos medios, para eso consideramos el promedio de cada intervalo, es decir,

$$\begin{align}&\overline{x_{1}}=\frac{1+\frac{1}{10}}{2}=\frac{11}{20}\\&\overline{x_{2}}=\frac{\frac{11}{10}+\frac{12}{10}}{2}=\frac{23}{20}\\&\overline{x_{3}}=\frac{\frac{12}{10}+\frac{13}{10}}{2}=\frac{25}{20}\\&\overline{x_{4}}=\frac{\frac{13}{10}+\frac{14}{10}}{2}=\frac{27}{20}\\&\overline{x_{5}}=\frac{\frac{14}{10}+\frac{15}{10}}{2}=\frac{29}{20}\\&\overline{x_{6}}=\frac{\frac{15}{10}+\frac{16}{10}}{2}=\frac{31}{20}\\&\overline{x_{7}}=\frac{\frac{16}{10}+\frac{17}{10}}{2}=\frac{33}{20}\\&\overline{x_{8}}=\frac{\frac{17}{10}+\frac{18}{10}}{2}=\frac{35}{20}\\&\overline{x_{9}}=\frac{\frac{18}{10}+\frac{19}{10}}{2}=\frac{37}{20}\\&\overline{x_{10}}=\frac{\frac{19}{10}+\frac{20}{10}}{2}=\frac{39}{20}\\&\end{align}$$

listo, entonces nos queda que,

$$\begin{align}&\int_{1}^{2}{\sqrt{1+x^{2}}}dx=\frac{b-a}{n}[f(\overline{x_{1}})+f(\overline{x_{2}})+...+f(\overline{x_{n}})]=\frac{1}{10}\left[f\left(\frac{11}{20}\right)+f\left(\frac{23}{20}\right)+...+f\left(\frac{39}{20}\right)\right]\end{align}$$

ahora, terminalo ¿va?, es que aquí me demoro mucho en redactarlo uno por uno...solo debes reemplazar los valores promedios que obtuvimos en la función (1+x^{2})^{1/2} los vas obteniendo uno por uno, los sumas y dividos todo entre 10...y esa es el área aproximada considerando 10 intervalos.

Cualquier duda me avisas y si tienes problemas... lo termino, cualquier cosa si necesitas ampliar el tema u otro ejercicio te recomiendo que lo publiques aquí brainly. Lat no es propagando es solo que yo trabajo mejor ahí.