Como se resuelven ejercicios de integrales

$$\begin{align}&3\cdot \int \:\frac{1}{3u^2+3}du=3\cdot \int \:\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{u^2+1}du\end{align}$$

$$\begin{align}&3\cdot \frac{1}{3}\int \:\frac{1}{u^2+1}du=3\cdot \frac{1}{3}\arctan \left(u\right)\end{align}$$

Para calcular la integral, primero la vemos como una integral indefinida y luego la evaluamos con los limites de integración como sigue:

$$\begin{align}&\int \frac{3}{x^2+9}dx\end{align}$$

Sacamos la constante 3 del signo de integración y nos queda

$$\begin{align}&\int \frac{3}{x^2+9}dx=3\cdot \int \:\frac{1}{x^2+9}dx\end{align}$$

Ahora aplicando integración por sustitución hacemos x = 3u  y dx = 3 du, asi:

$$\begin{align}&\int \frac{3}{x^2+9}dx=3\cdot \int \:\frac{1}{3u^2+3}du\end{align}$$

$$\begin{align}&3\cdot \int \:\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{u^2+1}du=3\cdot \frac{1}{3}\cdot \int \:\frac{1}{u^2+1}du\end{align}$$

de donde se sigue que

$$\begin{align}&3\cdot \frac{1}{3}\cdot \int \:\frac{1}{u^2+1}du=3\cdot \frac{1}{3}\arctan \left(u\right)=3\cdot \frac{1}{3}\arctan \left(\frac{1}{3}x\right)=\arctan \left(\frac{x}{3}\right)+C\end{align}$$

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Una vez calculada la integral indefinida nos queda evaluar con los limites de integración

$$\begin{align}&\int _{\sqrt{3}}^{\infty \:}\frac{3}{x^2+9}dx=\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{6}=\frac{\pi }{3}\end{align}$$