Cambiar el orden de integración.
$$\begin{align}&\int_1^2*\int_{-3x+5}^{4x-x^2} f(x,y)dydx + \int_2^3*\int_{-\sqrt{1-(x-2)^2+1}}^{4x-x^2} f(x,y)dydx \end{align}$$Me piden graficar la región y cambiar el orden de integración.
1 Respuesta
;)
Hola Monse!
Te hago primero la primera integral.
Para ello hemos de dibujar el recinto y buscar los puntos de intersección.
La primera integral dy dx se hace para un recinto tipo 1. Por el método de las flechitas observa la flecha vertical de color rojo: entra por un punto y sale por otro, luego es tipo 1
La integral : las x son el intervalo [1,,2]
y las y van de la recta y=-3x+5 y salen por la parábola y=4x-x^2,
luego la primera integral es:
$$\begin{align}&\int_{x=1}^{x=2} \int_{y=-3x+5}^{y=4x-x^2}f(x,y) dy dx\end{align}$$luego es correcta.Nos piden cambiar los limites de integración a dx dy, para ello comprobamos que tambien es un Recinto tipo II. Por el método de las flechitas, observa las flechas horizontales, entran por un punto y salen por otro punto. Luego si es Tipo II. Hay que descomponer la integral en tres integrales dobles:
Recinto 1: entra por la recta x=(5-y)/3 y sale por la recta x=2.
Las y van de [-1,2]
Recinto 2: Entran por x=1 y sale por x=2
las y van [2,3]
Recinto 3: Entra por la parábola(habrá que despejar la x) y sale por x=2
Las y van de [3,4]
Despejamos la x en laparábola:
$$\begin{align}&y=4x-x^2\\&x^2-4x+y=0\\&\\&x= \frac{ 4 \ \pm \sqrt {16-y^2}}2\\&\end{align}$$hay dos x, una para la rama de la izquierda de la parábola y otra para la rama de la derecha. Entra por la de la izquierda que es fácil comprobar que es
$$\begin{align}&x= \frac{ 4 - \sqrt {16-y^2}}2\end{align}$$Luego las tres integrales que hay que plantear son:
$$\begin{align}&R1= \int_{y=-1}^{y=2} \int_{x= \frac{5-y}3}^{x=2} f(x,y)dxdy\\&\\&\\&R_2=\int_{y=2}^{y=3}\int_{x=1}^{x=2} f(x,y) dx dy\\&\\&R_3=\int_{y=3}^{y=4} \int _{x= \frac{ 4 - \sqrt {16-y^2}}2}^{x=2} f(x,y)dxdy\end{align}$$Saludos
;)
;)
;)
La segunda integral:
Graficando el recinto:
Es parecido al anterior.
Se ha de descomponer en tres integrales dobles.
Antes de nada has de buscar los puntos de corte de las funciones, y despejar la x en la parábola y en la circunferencia.
Recinto 1: entra por x=2 y sale por la circunferencia (despejamos x):
$$\begin{align}&y=-\sqrt {2-(x-2)^2}\\&y^2=2-(x-2)^2\\&(x-2)^2=2-y^2\\&\\&x-2=\pm \sqrt{2-y^2}\\&\\&x=2- \sqrt {2-y^2}\\&\\&R1= \int_{y=- \sqrt 2=-1,41}^{y=-1} \int_{x=2}^{x=2- \sqrt {2-y^2}} f(x,y)dxdy\\&\\&R_2=\int_{y=-1}^{y=3} \int_{x=2}^{x=3} f(x,y)dxdy\\&\\&R_3=\int_{y=3}^{y=4}\int_{x=2}^{ \frac {4 + \sqrt {16-y^2}}2} f(x,y) dx dy\end{align}$$Saludos y recuerda votar
;)
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