Aplicación de mínimos y máximos relativos

Bien, para el primero, establezcamos los dos números reales con los que vamos a trabajar, por ejemplo quis (x)y ye (y), además nos dice que se cumpla que,

$$\begin{align}&x+y=80\end{align}$$

y también que exista una función que represente el producto, es decir,

$$\begin{align}&xy\end{align}$$

de la primera ecuación podemos despejar ye, en función de equis, y reemplazar en la segunda ecuación,

$$\begin{align}&f(x)=x(80-x)=-x^{2}+80x\end{align}$$

derivando, e igualando a cero, porque necesitamos un punto donde la recta tangente valga cero, entonces,

$$\begin{align}&-2x+80=0\\&x=40\end{align}$$

si reemplazamos en la primera ecuación obtienes que y=40, ahora solo nos queda por ver si x=40 es un máximo o un mínimo...¿cómo?, muy sencillo podemos usar el criterio de la segunda derivada, o podemos usar la matemática convencional...y recordar que para una función cuadrática,

$$\begin{align}&ax^{2}+bx+c\\&\\&Si: a>0\hspace{5mm}\textrm{entonces, la parabola se abre hacia arriba, es una especie de  "olla"}\\&Si: a<0\hspace{5mm}\textrm{entonces, la parabola se abre hacia abajo, es una especie de  "campana"}\end{align}$$

puesto que en nuestro ejercicio tenemos que a=-1<0 entonces la parábola se abre hacia abajo, por lo tanto su vértice deverá estar en lo más alto de la campana, por lo tanto su vértice implica un máximo.

Ahora intenta hacer el siguiente ¿va?, y si tienes problemas me avisas

;)
Hola Gabriel!

Lo primero y muy importante estos problemas se llaman de optimización, y son problemas donde buscamos los máximos y mínimos ABSOLUTOS, no relativos. El máximo absoluto de una función en un intervalo es donde la y es mayor, y el mínimo absoluto donde la y es menor. Lo que sucede es que en muchos problemas el máximo absoluto coincide con el relativo, (pero no siempre)piensa en una parábola hacia abajo el máximo está en el vértice. Pero, ¿y el mínimo? El mínimo dependerá del Domino de la función , si estudias la parábola y=-x^2  en el intervalo [0,4], el máximo es (0,0)=vertice

Pero el mínimo se encontrará en uno de los puntos extremos del intervalo:

f(0)=0

f(4)=-16

-16<0   luego el mínimo se encuetra en =4

Te comento esto porque si una función es continua en un intervalo los máximos y/o mínimos absolutos o bien coinciden con los relativos o bien se encuentran en los extremos del Dominio de definición, que en los problemas prácticos no solo depende del tipo de fórmula. Pero para no complicarlo mucho,

En los primeros problemas verás que directamente buscamos los extremos relativos pero en otros problemas, bien por el tipo de pregunta o porque la cosa no cuadra, tendremos que ver el dominio de la función y ver que pasa en los extremos. Pero eso lo irás viendo en sucesivos problemas, dependiendo del grado de dificultad .

Los pasos para resolver estos problemas serían:

Te hago el segundo problema mientras te los explico

Pasos:

1) Definir las variables del problema:

Aquí habla de dos números positivos : x, y > 0

Habrá problemas de geometría, entonces hacer un dibujo y situar la x(por ejemplo el ancho) y la y(el largo) de un rectángulo, etc... Ya lo iremos viendo

2)Plantear la función a optimizar, lo que te piden el máximo o /y mínimo(ABSOLUTO)

Aquí me piden una suma mínima. Llamaré a la función S(de suma)

S=x+y

Observa que esto es una función de dos variables independientes

S=f(x,y)

En la Universidad estudiarás funciones de varias variables. Aquí lo que haremos es reescribir esa función en una sola variable. Para ello:

3)Relacionar las variables del problema a partir de los datos del problema

Dato:   x·y=9

Despejas una variable, aquí la x i la y hacen el mismo papel . Son independientes. y no es una f(x)

Despejas una cualquiera   y= 9/x

4) Reescribir la función a optimizar en una sola variable:

$$\begin{align}&S(x)=x+ \frac 9 x=\frac{x^2+9} x\\&\text{ si hubieras despejado x, tendrías}\\&\\&S(y)=\frac{y^2+9} y\\&\\&\text{y sería variable independiente;te comento esto porque a la hora de derivar\\& no es regla de la cadena,es c0mo si fuera x\\& }\end{align}$$

5) Buscar el extremo relativo  ==> S'(x)=0

$$\begin{align}&S'=\frac{2x^2-(x^2+9)} {x^2}=\frac{x^2-9}{x^2}\\&\\&S'=0\\&x^2-9=0\\&x= \pm 3\end{align}$$

Como habla de números positivos, la posible solución sería x=3

6) Comprobar el extremo relativo.

Con eso lo que nos queremos asegurar es que si me piden una suma mínima, al menos eso ha de ser un mínimo relativo.

Se puede comprobar con el criterio de la primera derivada (mirando el crecimiento a izquierda y derecha de x=3)o con el criterio de la segunda derivada (mirando la concavidad en x=3)

Suelo utilizar el primero:

Miremos el signo de la derivada primera a izquierda y derecha de x=3

$$\begin{align}&S'(2)=\frac{4-9} +<0==> decreciente\\&S'(4)=\frac{16-9}{+}>0 ==> creciente\\&\\&luego \ x=3 \ es \ un\ mínimo\end{align}$$

Y aquí se acabaría el problema. x=3   ;  y=9/3=3    Y la suma mínima sería S=3+3=6

Pero para que tengas una visión más general de estos problemas. Imagina que me hubieran preguntado la suma máxima.

En este caso el problema sigue los mismos pasos. Pero al comprobar el extremo relativo, me ha dado un mínimo relativo, este no puede ser el máximo absoluto. Pero ahora haríamos más pasos:

7) Escribir el Dominio S(x)=(0, + infinito)

Calcular lo que vale la función en los extremos del Dominio, que aquí se calculará con dos límites:

$$\begin{align}&\lim_{x\to 0^+}S(x)=\lim_{x\to 0^+}\frac{x^2+9} x=\frac{+ 9}{+ 0}=+ \infty\\&\\&\lim_{x\to + \infty}\frac{x^2+9} x= \frac{ + \infty}{+ \infty}=\lim_{x\to + \infty} \frac{x^2} x=\lim_{x\to + \infty}x=+ \infty\end{align}$$

Eso quiere decir que cuanto más te acercas a 0 por la derecha la suma da más grande:

x=0,1  ==> y=9/(0.1)=90  ==>S=90.1

x=0.01 ==> y=900  ==> S=900.01

Y evidentemente cuando x tiende a + infinito,, cuanto mayor sea uno de los números, mayor será su suma.

Se dice que no tiene óptimo máximo. Un máximo se ha de alcanzar en un valor concreto

En la mayoría de problemas ya te preguntan sobre el óptimo (mínimo en este problema) que se puede calcular.

Pero hay problemas en que pueden tener sentido tanto el máximo como el mínimo ABSOLUTOS,

Y en estos casos uno de los dos coincidirá con el Relativo, pero para el otro tendrás que acabar haciendo el Paso 7.

Saludos

;)

;)