Calcule la derivada direccional de la función en el punto dado en la dirección del vector v

;)
Hola Cristian!

La derivada direccional en un punto es el producto escalar del vector gradiente en ese punto, por el unitario de la dirección considerada:

Usaré (x, y) en lugar de (r, s)

$$\begin{align}&D_vg(P)= \vec {\nabla f (P)}· \vec u\\&\\&v=5 \vec i+10 \vec j=(5,10)\\&| \vec v |= \sqrt{5^2+10^2}= \sqrt {125}=5 \sqrt 5\\&\\&\vec u= \frac 1 {|\vec v|}\vec v=\frac 1 { 5 \sqrt 5}(5,10)=(\frac 1 {\sqrt 5}, \frac 2 {\sqrt 5})\\&\\&Vector\ gradiente\\&\\& \vec {\nabla f (P)}=(\frac{\partial g}{\partial x},\frac{\partial g}{\partial y})=(\frac y{1+x^2y^2},\frac x{1+x^2y^2})\\&\\&sustituyendo\ P\\&=( \frac 2 5, \frac 1 5)\\&\\&derivada\ direccional:\\&D_vg(P)= \vec {\nabla f (P)}· \vec u=( \frac 2 5, \frac 1 5)·(\frac 1 {\sqrt 5}, \frac 2 {\sqrt 5})=\frac 2 {5 \sqrt 5}+ \frac 2 { 5 \sqrt 5}= \\&\\&\frac 4 {5 \sqrt 5}= \frac {4 \sqrt 5}{25}\end{align}$$

Saludos

;)

;)