Qué valores de x verifican esta desigualdad

;)
Hola Paul!
Es un sistema de dos inecuaciones de grado 3, dependientes de un parámetro a. Se ha de dar la solución en forma de intervalos en función de a.

Se resuelve cada inecuación por separado, yse busca la intersección de los intervalos solución.

Se ha de recordar la factorización de una diferencia de cubos.

Escribiendo las dos inecuaciones por separado:

$$\begin{align}&I.\\&3(x-a)a^2  < x^3-a^3\\&\\&II.\\&x^3-a^3<3(x-a)x^2\\&\\&A^3-B^3=(A-B)(A^2+AB+B^2)\\&\\&\\&\\&I.\\&3(x-a)a^2 <(x-a)(x^2+ax+a^2)\\&==>\\&0 <(x-a)(x^2+ax+a^2-3a^2)\\&==>\\&\\&(x-a)(x^2+ax-2a^2)>0\\&(x-a)(x-a)(x+2a)>0\\&(x-a)^2(x+2a)>0\\&==>\\&x+2a>0\\&x>-2a\\&S_1=(-2a,+ \infty)\\&\\&II.\\&x^3-a^3<3(x-a)x^2\\&(x-a)(x^2+ax+a^2)<3(x-a)x^2\\&(x-a)(x^2+ax+a^2-3x^2)<0\\&(x-a)(-2x^2+ax+a^2)<0\\&(x-a)(x-a)(-2x-a)<0\\&(x-a)^2(-2x-a)<0\\&==>\\&-2x-a<0\\&-2x< a\\&x> - \frac a 2\\&S_2=(- \frac a 2, +\infty)\\&\\&S=S_1 \cap S_2= (- \frac a 2, +\infty)\\&\end{align}$$

Las factorizaciones de 2º grado las he puesto directas, son sencillas.

Recuerda que (x-a)^2 siempre es positivo, por lo que el signo solo depende del otro factor.

Saludos

;)

;)

Tranquilo... veamos a que llegamos :-)

Intentemos ir 'por partes', lo primero que va a pasar es que lo que encontremos va a estar en función de 'a', pero esto te sirve porque luego remplazas 'a' por el valor que quieres y listo.

Vemos que tenemos (x-a) en las 3 expresiones (aunque en la del medio está al cubo), luego podemos separar en 2 casos

$$\begin{align}&x=a \land x \ne a\\&x=a:\\&3(x-a)a^2 < x^3-a^3 < 3 (x-a)x^2\\&pero\ como \ x=a\\&3(a-a)a^2 < a^3-a^3 < 3 (a-a)x^2\\&0 < 0 < 0 \text{ (Falso!, esto significa que esta condición no sirve). Ahora veamos que pasa sí}\\&x \ne a\\&3(x-a)a^2 < x^3-a^3 < 3 (x-a)x^2\\&Como \ x\ne a \text{puedo dividir todo por (x-a)}\\&\frac{3(x-a)a^2}{x-a} < \frac{x^3-a^3}{x-a} < \frac{3 (x-a)x^2}{x-a}\\&3a^2 < x^2+x+a^2 < 3 x^2\end{align}$$

y a partir de acá no encuentro mucho más...salvo que |a| < |x|

Lo único que se me ocurre es ver que ocurre para un par de casos particulares de 'a'. Veamos:

Si a=0

0 < x^2+x < 3x^2...(restando x^2)

0 < x < 2x^2... (puedo dividir por x, ya que |x| > |a|=0)

0 < 1 < 2x

x > 1/2...Solución a=0, x > 1/2

Si a=1

3 < x^2 + x + 1 < 3x^2

Podemos ver dos condiciones...

3 < 3x^2 --> 1 < x^2 --> |x| > 1

x^2+x+1 <3x^2 -->

-2x^2 + x +1 < 0  Aplicando la resolvente queda

(-inf, -0,5) U (1, + Inf) pero como además se tiene que dar la condición |x| > 1, tenemos que las soluciones son

(-inf, -1) U (1, +inf)

¿Será qué ese '1' tiene relación con 'a'...?

Volvamos a escribir a lo que llegamos...

3a

$$\begin{align}&3a^2 < x^2+x+a^2 < 3x^2\\&\text{Obviando la parte central, tenemos que}\\&3a^2 < 3x^2 \to a^2 < x^2 \to |a| < |x|\\&\text{Mirando la primer desigualdad}\\&3a^2 < x^2+x+a^2 \\&0 < x^2+x- 2a^2 \\&\text{Aplicando la resolvente, tenemos}\\&x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8a^2}}{2}\\&\text{Como la parabola tiene el coeficiente principal positivo, tiene forma de } \cup \text{ y la parte positiva }\\&\text{se encuentra entre los infinitos y las raíces}\\&\text{Mirando la segunda desigualdad}\\&x^2+x+a^2 < 3x^2\\&-2x^2+x+a^2 < 0\\&\text{Aplicando la resolvente, tenemos}\\&x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8a^2}}{2}\\&\text{Como la parabola tiene el coeficiente principal negativo, tiene forma de } \cap \text{ y la parte negativa }\\&\text{se encuentra entre los infinitos y las raíces}\\&\text{Como vemos, ambas expresiones dieron términos equivalentes y tenemos entonces las 2 condiciones que son}\\&(-\infty,\frac{-1 - \sqrt{1 + 8a^2}}{2}) \cup (\frac{-1 + \sqrt{1 + 8a^2}}{2}, +\infty)\\&\land  |a| < |x|\end{align}$$

Creo que es un buen avance...revisá si me faltó agregar algo más