Matemáticas, dilema de los cien prisioneros.
Aquí se puede ver el problema
Pero no es una pregunta, simplemente quiero usar el editor para hacer los cálculos.
En el artículo dan la probabilidad de que todos los n-ciclos sean menores que 51 pero no explican cómo se ha calculado. Es fácil, empezamos calculando la probabilidad de que haya un 51-ciclo exactamente, por ejemplo.
Primero pueden ser cualesquiera 51 números de los 100 luego empezamos con unas combinaciones de 100 tomadas de 51 en 51.
Luego, cada 51-ciclo puede tener 50 números en cualquier orden salvo uno que se pone siempre el primero y solemos poner el menor. Luego habrá que multiplicar por permutaciones de 50.
Y luego los otros 49 números pueden estar como quieran dentro de sus 49 posiciones, luego hay que multiplicar por permutaciones de 49.
Esto se hace para todos los n entre 51 y 100 y su suma nos dará la probabilidad de muerte. Restándola de 1 nos dará la de salvación.
$$\begin{align}&f_{51}= C_{100}^{51}·P_{50}·P_{49}= \frac{100!}{51!·49!}·50!·49!=\frac {100!}{51}\\&\\&\forall\; 51\le n\le 100\\&f_n=C_{100}^n·P_{n-1}·P_{100-n}=\frac{100!·(n-1)!(100-n)!}{n!(100-n)!}=\frac{100!}{n}\\&\\&P(morir) = \frac{\sum_{n=52}^{100} \frac{100!}{n}}{100!}=\sum_{n=52}^{100} \frac{1}{n}=0.6685643362\\&\\&P(vivir)=1-0.6685643362=0.3314356638\end{align}$$
1 Respuesta
Perdón me equivoqué, el sumatorio era desde 51, corrijo:
$$\begin{align}&f_{51}= C_{100}^{51}·P_{50}·P_{49}= \frac{100!}{51!·49!}·50!·49!=\frac {100!}{51}\\&\\&\forall\; 51\le n\le 100\\&f_n=C_{100}^n·P_{n-1}·P_{100-n}=\frac{100!·(n-1)!(100-n)!}{n!(100-n)!}=\frac{100!}{n}\\&\\&P(morir) = \frac{\sum_{n=51}^{100} \frac{100!}{n}}{100!}=\sum_{n=51}^{100} \frac{1}{n}=0.6681721793\\&\\&P(vivir)=1-0.6685643362=0.3318278207\end{align}$$
