Determine si en P_2 los polinomios 3-x, 2+x^2 y 4+5x-x^2 son linealmente dependientes e independientes.

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Hola Antonio!
Una forma de ver eso es construir una combinación lineal de esos polinomios que de cero.

Si la única solución es que todos los escalares sean cero, serán independientes.

Sino serán dependientes.

$$\begin{align}&a(3-x)+b(2+x^2)+c(4+5x-x^2)=0\\&3a-xa+2b+bx^2+4c+5cx-5x^2=0\\&(b-5)x^2+(5c-a)x+(3a+2b+4c)=0x^2+0x+0\\&\\&Igualando\ coeficientes\\&b-5=0\ \ ==> b=5\\&5c-a=0\ ==> a=5c\\&3a+2b+4c=0\ ==>15c+10+4c=0==> c=- \frac {10}{19}\\&\\&==> a=-\frac{50}{19}\\&\end{align}$$

Luego como los escalaresa,b,c son diferentes de 0 , implica que esos polinomios son linealmente dependientes

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