Demuestre que la distancia entre los puntos P_1 (r_1,θ_1) y P_2 (r_2,θ_2), en coordenadas polares
Geometría
Demuestre que la distancia entre los puntos P_1 (r_1,θ_1) y P_2 (r_2,θ_2), en coordenadas polares, es
$$\begin{align}&d=P_1 P_2=√(r_1^2+r_2^2-2r_1 r_2 \cos(θ_2-θ_1))\end{align}$$y encuentre la distancia entre los puntos (4,π/6) y (-1,5π/2)
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Respuesta de Lucas m
1
;)
Hola Yani!
Escribamos los puntos en coordenadas cartesianas y calculemos la distancia como el módulo del vector que une los dos puntos:
$$\begin{align}&x=r \cos \theta\\&y=r sen \theta\\&P_1=(r_1 \cos \theta _1, r_1 sen \theta _1)\\&P_2=(r_2 \cos \theta _2, r_2 sen \theta _2)\\&\\&\vec{P_1P_2}=(r_2 \cos \theta _2-r_1 \cos \theta _1, r_2 sen \theta _2 -r_1 sen \theta _1)\\&\\&dist=\Bigg|\vec{P_1 P_2}\Bigg |= \sqrt {(r_2 \cos \theta _2-r_1 \cos \theta _1)^2+( r_2 sen \theta _2 -r_1 sen \theta _1)^2}=\\&\\&\sqrt{r_2 ^2cos^2 \theta _2+r_1^2 \cos^2 \theta _1 -2r_1r_2cos \theta _1cos \theta _ 2+ r_2^2 sen^2 \theta _2 +r_1 ^2 sen^2 \theta _1 -2r_1r_2sen \theta _1sen \theta _ 2}=\\&\\&=\sqrt{r_1^2(sen^2 \theta _1+\cos^2 \theta _ 1)+ r_2^2(sen^2 \theta _2+\cos^2 \theta _ 2)-2r_1r_2(\cos \theta _1cos \theta _ 2+sen \theta _1sen \theta _ 2)}=\\&\\&sen^2 \alpha+\cos^2 \alpha=1\\&\cos( \alpha-\beta)=\cos \alpha \cos \beta + sen \alpha sen \beta\\&\\&=\sqrt{r_1^2+r_2^2-2r_1r_2 \cos(\theta _2- \theta _1)}\\&\\&\\&\\&dist=\sqrt{4^2+(-1)^2-2·4(-1)\cos(\frac{ 5 \pi }2 - \frac {\pi} 6)}=\\&\\&\sqrt{17+8cos( \frac {7 \pi} 3)}= \sqrt {17+ 8 \frac 1 2}= \sqrt {21}\end{align}$$Saludos
;)
;)
