Como se evalúa la Integral dada cambiando a coordenadas polares
$$\begin{align}&\\&∬_R^.〖ye²dA,〗 donde R es la región en el primer cuadrante encerrado por el círculo x² + y² - 25\\&\end{align}$$Solicito la explicación de como se evalúa la integral dada cambiando a coordenadas polares de la ecuación dada anteriormente.
1 Respuesta
Respuesta de Lucas m
1
;)
Hola Ana Belén!
No entiendo ese e^2
Aclarame bien cual es la función a integrar:
$$\begin{align}&\int \int _Rf(x,y)dA=\\&\text{la región es un circulo de radio 5}\\&\text{El Jacobiano es igual a r}\\&\theta \in[0,2 \pi]\\&r \in [0,5]\\&\\&\int_0^{2 \pi} \int_0^5 f(r, \theta)\ \ r\ dr \ d \theta\end{align}$$;)Saludos
;)
;)
Ok, creo que el escribir la ecuación por este medio me cuesta trabajo aun, te comparto la imagen donde se puede observar bien.
;)
La constante sale fuera de la integral:
$$\begin{align}&y=r sen \theta\\&\\&\text{En el primer cuadrante==> }\theta \in[0, \frac{\pi} 2]\\&e^2 \int_0^{\frac{\pi} 2} \int_0^5(rsen \theta)\ r º dr \ d \theta=\\&\\&e^2 \int_0^{\frac {\pi} 2} \Bigg [ \int_0^5(rsen \theta)\ r \ dr \Bigg] d \theta=\\&\\&e^2 \int_0^{\frac{ \pi} 2}sen \theta \Bigg[\int_0^5 r^2dr \Bigg] d \theta=\\&\\&e^2 \int_0^{\frac{\pi} 2}sen \theta \Bigg[ \frac{r^3}3 \Bigg]_0^5 d \theta=\\&\\&e^2 \frac{125} 3 \int_0^{\frac{\pi} 2}sen \theta d \theta=\\&\\&e^2 \frac {125} 3 \Bigg[-\cos \theta \Bigg]_0^\frac{\pi} 2=\\&\\&e^2 \frac {125} 3 \Bigg(-\cos \frac {\pi} 2+ \cos 0 \Bigg)=\\&\\&e^2 \frac {125} 3 (0+1)=\\&\\&\frac{125 e^2} 3 \simeq307.8773375\end{align}$$;)
;)
