Problemas sobre trapecios en general

Antes que nada te dejo el gráfico, hecho en geogebra

Trapecio

Una vez que tienes el gráfico, es fácil calcular las dimensiones de las diagonales ya que ambas salen por Pitágoras

$$\begin{align}&AC = \sqrt{a^2+a^2}=\sqrt{2a^2}=a \sqrt{2}\\&BD = \sqrt{a^2+(2a)^2}=\sqrt{5a^2}=a \sqrt{5}\end{align}$$

El otro punto ya es más complicado (al menos para mí) y como no sé si hay alguna forma simple lo voy a deducir. 

Primero voy a calcular la ubicación del punto I, luego verás que se forma un triángulo rectángulo entre B, I, y la proyección de I sobre el eje 'X'

Una vez que tenemos todo eso, volvemos a aplicar Pitágoras

$$\begin{align}&\text{Las rectas directrices de las diagonales son:}\\&AC: y=x\\&BD: y= -\frac{1}2x + a\\&\text{Igual para hallar la intersección}\\&x=-\frac{1}2x+a\\&\frac{3}{2}x=a \to x=\frac{2}{3}a=y\\&\text{Ya tenemos el valor de I, así que los 3 puntos que nos interesan y que definen nuestro nuevo triángulo}\\&\text{rectángulo son:}\\&I=(\frac{2}{3}a,\frac{2}{3}a)\\&I_p=(\frac{2}{3}a,0)\\&B = (2a,0)\\&\text{Ahora sí, el segmento buscado es}\\&BI = \sqrt{(B_x-I_{px})^2+(I_y-I_{py})^2} = \sqrt{(2a-\frac{2}{3}a)^2+(\frac{2}{3}a-0)^2} = \\&\sqrt{(\frac{4}{3}a)^2+(\frac{2}{3}a)^2} =\sqrt{\frac{16}{9}a^2+\frac{4}{9}a^2} =\sqrt{\frac{20}{9}a^2}=\\&\frac{2}{3}a \sqrt{5}\end{align}$$

y eso es todo, como verás no usé ninguna fórmula 'mágica' (salvo, quizás, Pitágoras), y lo único que si debes hacer es ir haciendo todo 'paso a paso'.

Salu2

PD: es fundamental que te apoyes del gráfico para entender cada parte del ejercicio