¿Como demostrar por inducción matemática el siguiente ejercicio?

Podrías publicar tu ejercicio en la página brainly. Lat para poder explicártelo mejor... me pasas el link de la publicación

Está claro que esa sumatoria tiene una ligera modificación con la original (suma de los n primeros términos) y que es cierta, pero vamos a hacerlo como te lo piden

$$\begin{align}&Caso\ base (n=1)\\&P(1):\sum_{i=1}^1 \frac{2i}{5}=\frac{2}{5}\\&\frac{1}{5}(1+1)=\frac{2}{5}\\&Vale!\\&P(n) \to ^? P(n+1)\\&P(n+1):\sum_{i=1}^{n+1} \frac{2i}{5} =^?\frac{(n+1)}{5}(n+2)\\&\\&\sum_{i=1}^{n+1} \frac{2i}{5} = \sum_{i=1}^{n} \frac{2i}{5} + \frac{2(n+1)}{5}=(inducción)\\&\frac{n}{5}(n+1) +  \frac{2(n+1)}{5} = (factor\ comun\ (n+1))\\&(n+1)(\frac{n}{5}+\frac{2}{5})=(n+1)(\frac{n+2}{5}) cqd\\&\text{ cqd: como queríamos demostrar o como queda demostrado}\end{align}$$

Salu2