¿Cómo se comprueba esta ecuación diferencial?

Es correcta. Es una ED no lineal, de Bernoulli.

x(dy/dx) + y = -e^x * x^4y^4;  divido por x para dejar libre a dy/dx:

(dy/dx) + y/x = -e^x * x^3y^4;  

CDV:  u=y^(1-4);  u=y^(-3);  y=u^(-1/3);  dy=(-1/3)u^(-4/3)*du.  Sustituyo:

(-1/3)u^(-4/3) (du/dx) + [u^(-1/3)/x] = -e^x * x^3* u^(-4/3);  

nuevamente libero la derivada:

(du/dx) - (3u/x) = 3e^x * x^3;  quedando una ED lineal de 1° grado.

µ=e^∫ (-3/x)dx;  µ=e^(-3)∫dx/x;  µ=e^(-3)lnx;  µ=e^lnx^(-3);  µ=x^(-3);

d [u*x^(-3)]/dx = 3e^x;  (a la derecha se simplican:  x^3*x^(-3) = 1.

u*x^(-3) = ∫ 3e^x * dx

u*x^(-3) = 3e^x + C;

u= x^3 (3e^x + C);  sustituyo u por su valor en y desde:  u=y^(-3):

y^(-3) = x^3 (3e^x + C);  que es tu consigna, quedando demostrado.