Determinar Dominio y Rango, Calculo Diferencial

a) 𝑓(𝑥)=3𝑥−2;

Como todo polinomio (en este caso un binomio):  D= para todo x =R

 En este caso además el Rango= para todo y=R

b) 4−√16−𝑥^2;  o:  y=4-4 -x^2;  o:  y= -(x^2):  

D=Para todo x=R;  Pero el Rango sólo será para todo y≤0.

c) 𝑥−|𝑥|;  El dominio es para todo x=R, pero el rango:

Cuando x≤0:  y=x-(-x);  y=2x;  Como en esta parte x es negativa o 0, el rango será:

Rango= para todo y≤0;

Cuando x>0;  y=x-x;  y=0

El rango final (para ambas partes juntas) es:  Para y≤0

Puedes ver la gráfica de la función en:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=Plot+y%3Dx-%7Cx%7C 

d)𝑥^2−2𝑥−1;  como todo polinomio, D=para todo x=R;

Es una parábola cuadrática de vértice inferior (el término cuadrático es positivo), por lo que en su vértice tiene un mínimo, y por sus ramas tiende a y: +∞;

Calculemos el mínimo (por derivación o directamente por su fórmula:  x(mín) = -b/2a:  x(mín)=2/2;  x(mín) = 1;  

Sustituimos a x por 1:  y=1-2-1;  y=(-2);  por lo que tu rango será:

Para todo y≥(-2);

Puedes ver la gráfica en:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=Plot+y%3Dx%5E2+-+2x+-1 

e) √𝑥−1; Como no hay paréntesis, puedo interpretarlo de dos formas (elige la que corresponda a tu consigna):

# y=(√𝑥)−1;  D= para todo x≥0, porque el radicando debe ser ≥0;  

Como es una parábola que abre a la derecha, las ramas se extenderán hacia y+∞ (la superior);  y-∞ (la inferior).  En definitiva:  Rango=para todo y=R.

Recordar que las raíces pares tienen tanto signo + como -, es decir que podríamos haber escrito:  y= (+-√x) -1

# y = √(x-1);  D=Para todo x≥1 (porque el radicando debe ser ≥0);  igual al caso anterior, el rango será para todo y=R (por el hecho de tener la raíz para ambos signos).

f) 1/𝑥^2;  D=para todo x =R;  y el rango será para todo y>0;  

Es la clásica gráfica de la "chimenea", ya que cuando x tiende a 0 tanto por derecha como por izquierda, y tiende a +∞.

Hay una "discusión" respecto al rango:  si es >0 o ≥0.  Personalmente me inclino por ">0", ya que para que y=0, x=+ o - ∞;  sin embargo, x puede tender a ∞ pero nunca llega a valer ∞.

Observa la gráfica en:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=Plot+y%3D1%2Fx%5E2