Cuál de las siguientes funciones es una solución de la ecuación diferencial (d^2y / dx^2) - (dy / dx) - y - e^x = -xe^x , :

1. Una función y = f(x) es una solución de una ecuación diferencial si al sustituir la función y sus derivadas en la ecuación la reducen a una identidad.
De acuerdo a la ecuación diferencial: (d^2y / dx^2) - (dy / dx) - y - e^x = -xe^x, cuál de las siguientes funciones es una solución:
A. Y = -xe^-x
B. Y = xe^-x
C. Y = xe^x
D. Y = -e^x

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;)
Hola Laura Rodriguez!

La ecuación diferencial (ED)la podemos escribir también así:

y '' -y'- y - e^x  =-xe^x

Tenemos que calcular la primera y segunda derivada de las posibles soluciones y sustituirlo todo en la ED para ver si se cumple o no la igualdad.

Como tenemos 4 soluciones, veamos si podemos descartar alguna de ellas. Si las examinas con detalle observa que las dos primeras(A y B) llevan el factor exp(-x):

$$\begin{align}&e^{-x}\end{align}$$

mientras que el segundo miembro de la ED es un factor de exp(x):

$$\begin{align}&-xe^x\end{align}$$

Como la derivada de :

$$\begin{align}&D(e^{-x})=-e^{-x}\end{align}$$

al sustituir y operar las soluciones A y B en la ED dará un factor de e^x

Luego las dos primeras no son.

La D tampoco lo será, ya que al derivar e^x sale e^x, y en el segundo miembro de la ED tenemos

$$\begin{align}&xe^x\end{align}$$

$$\begin{align}&y=-e^x\\&\\&y'=-e^x\\&\\&y''=-e^x\\&\\&Sustituyendo\ en \ ED:\\&y''-y'-y-e^x=-xe^x\\&\text{al sumar términos con solo} \  e^x, \text{no aparecerá} \  xe^x\end{align}$$

Resumiendo que se intuye que será la C:

$$\begin{align}&y=xe^x\\&\\&y'=1e^x+xe^x=e^x(1+x)\\&\\&y''=e^x(1+x)+e^x=e^x(2+x)\\&\\&sustituyendo \ en \ ED:\\&y''-y'-y-e^x=-xe^x\\&\\&e^x(2+x)-e^x(1+x)-xe^x-e^x\stackrel{?}{=}-xe^x\\&\\&e^x(2+x-1-x-x-1) \stackrel{?}{=}-xe^x\\&\\&e^x(-x)=-xe^x\\&Si\ cumple\end{align}$$

Es la C

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